19/01/2022

Na Folha, Marcelo Viana fala do 'Problema de Waring'

Imagem: Freepik

Reprodução da coluna de Marcelo Viana na Folha de S.Paulo

Em 1770, Joseph-Louis Lagrange provou um belo teorema: todo número inteiro positivo pode ser escrito como soma de quatro quadrados, ou seja quatro números da forma a2 em que a é um inteiro. Por exemplo, 7 = 12+12+12+22 (também sabemos que não dá para escrever 7 como soma de menos do que quatro quadrados). A ideia do teorema remontava à “Aritmética” de Diofanto de Alexandria, escrita no século 3, e tinha sido formulada explicitamente por Claude Bachet em 1621.

Mas nesse mesmo ano de 1770 o inglês Edward Waring (1736–1798) já estava propondo uma generalização ainda mais desafiadora. Em “Meditações Analíticas” ele afirmou, sem provar: “Todo inteiro é uma soma de nove cubos (da forma a3); todo inteiro é também a soma de dezenove biquadrados (da forma a4)”. E acrescentou, misteriosamente: “e assim em diante”.

Waring foi professor da universidade de Cambridge, na Inglaterra, ocupando durante quase três décadas a posição de professor Lucasiano, uma das mais prestigiosas do mundo acadêmico, que contou com Isaac Newton e Stephen Hawking entre seus ilustres titulares. Hoje em dia, ele é lembrado, sobretudo, por causa das “Meditações”.

Em linguagem moderna, o “problema de Waring” é o seguinte: para todo inteiro positivo k existe um número N(k) tal que todo inteiro positivo pode ser escrito como soma de N(k) potências ak de inteiros positivos? A prova de que assim é só foi dada em 1909, pelo matemático alemão David Hilbert. E questões relacionadas continuam sendo temas de pesquisa até os nossos dias.

Um problema interessante é calcular explicitamente o valor de N(k) para cada valor de k. O teorema dos quatro quadrados de Lagrange significa que N(2)=4. A afirmação de que N(3)=9 foi provada em 1909 pelos alemães Arthur Wieferich e Aubrey Kempner. Mas N(4)=19 só foi provada em 1986, pelos matemáticos Ramachandran Balasubramanian, da Índia, e Jean-Marc Deshouillers e François Dress, da França.

Curiosamente, N(5) = 37 veio antes: foi provado em 1964 pelo matemático chinês Chen Jingrun. Atualmente, sabemos calcular N(k) para todo valor de k, mas alguns aspectos da fórmula ainda não foram compreendidos.

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