02/03/2018

Quatro cores bastam para colorir qualquer mapa

Em cena do livro “Tom Sawyer abroad”, do escritor Mark Twain, os amigos Tom e Huck estão perdidos enquanto sobrevoam os Estados Unidos em um balão. “Estamos em Illinois, ainda não avistamos Indiana”, sustenta Huck, explicando: “eu sei pela cor”.

“Pela cor?” espanta-se Tom, “O que a cor tem a ver?”.

“Tudo a ver!”, responde Huck. “Indiana é rosa e Illinois é verde. E lá em baixo é tudo verde.”

“Indiana é rosa?! Que bobagem!”, indigna-se Tom.

“Bobagem não senhor”, retruca Huck, “eu vi no mapa, é rosa sim!”

Mal-humorado, Tom tenta explicar que a cor no mapa não quer dizer nada, mas Huck não se deixa convencer…

A regra básica ao colorir um mapa é que regiões adjacentes, ou seja, que têm algum segmento de fronteira comum, devem ser assinaladas com cores diferentes, para distingui-las. Em 1852, o matemático e botânico sul-africano Francis Guthrie (1831-1899) estava colorindo o mapa dos condados da Inglaterra e notou que três cores não eram suficientes, mas quatro cores sim. Ficou curioso de saber se todo mapa, natural ou inventado, poderia ser colorido com apenas quatro cores.

Intrigado, levou a questão ao grande lógico britânico Augustus De Morgan (1806-1871), o qual não soube responder e, inclusive, acreditava que não houvesse resposta matemática: “estou plenamente convencido de que não é suscetível de demonstração e deve ser aceito como um postulado”.

O problema foi popularizado por De Morgan e por Guthrie, tornando-se conhecido como “conjectura das quatro cores”.

Alguns anos depois, parecia que o assunto ia ser encerrado. Em 1879, o britânico Alfred Kempe (1849-1922) publicou uma prova matemática de que quatro cores realmente bastam para todo mapa e, no ano seguinte, o escocês Peter Tait (1831-1901) deu uma prova alternativa.

Só que, em 1890, o também britânico Percy Heawood (1861-1955) encontrou um erro grave no argumento de Kempe, e o dinamarquês Julius Petersen (1839-1910) fez o mesmo com a prova de Tait no ano seguinte. De volta à estaca zero!

Felizmente, Heawood conseguiu salvar alguma coisa. Ele provou que cinco cores são suficientes para colorir qualquer mapa, e essa prova está correta. Mas como ninguém conseguiu exibir um mapa que realmente precise das cinco cores, a situação era muito insatisfatória. Assim, a conjectura das quatro cores continuou a ser um desafio intrigante durante décadas.

Em 1905, o alemão Hermann Minkowski (1864-1909) declarou a seus alunos que o problema continuava em aberto “apenas porque só matemáticos de terceira classe se interessaram por ele”, acrescentando confiante, “acho que sei resolver”.

Mas, ao final da aula, ainda não tinha conseguido e continuou fracassando durante semanas, até que desistiu. “Os céus estão zangados com a minha arrogância, a minha prova também está errada”, confessou.

A situação mudou em 1976, quando os matemáticos Kenneth Appel (1932-2013, norte-americano) e Wolfgang Haken (nascido na Alemanha, em 1928) publicaram a primeira prova correta da conjectura das quatro cores.

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