28/10/2020

Na Folha, Marcelo Viana fala sobre a hora do amigo secreto

Imagem: Be Funky

Reprodução da coluna de Marcelo Viana, na Folha de S.Paulo

O estranho ano de 2020 caminha para o fim e logo será hora das festividades natalinas. Um dos aspectos mais simpáticos da nossa tradição é a brincadeira do amigo secreto: para cada pessoa no grupo – a família ou os colegas de trabalho – é sorteado, de modo confidencial, alguém no grupo a quem essa pessoa dará um presente.

Aqui em casa, quem cuidava do sorteio era eu. O modo mais simples é escrever os nomes em papéis, que depois são dobrados. Cada um escolhe um papel e confere em segredo o nome do seu amigo. Cada resultado possível é chamada uma permutação. O número total de permutações de N pessoas é igual a N! (leia N fatorial), que é N vezes (N-1) vezes … vezes 3 vezes 2 vezes 1.

Mas há um problema nesse procedimento: por muito prazeroso que seja dar presentes a si mesmo, o amigo secreto não pode ser a própria pessoa! Por isso, só são válidas aquelas permutações em que ninguém escolhe o papel com seu próprio nome, que são chamadas desarranjos do grupo.

Quando fui organizar o amigo secreto da família, estava consciente desse problema, mas torci para sair um desarranjo logo na primeira, e senão tentaríamos de novo. Mas depois de quatro tentativas fracassadas a família cansou, e acho que a confiança na minha habilidade matemática caiu muito… Fui trocado por um aplicativo! Foi aí que decidi estudar o assunto direito.

O problema de saber quantos desarranjos existem foi formulado em 1708 pelo francês Pierre Rémond de Montmort (1678–1719) e foi resolvido pelo próprio, e também por seu amigo Nicolas Bernoulli (1687–1759), por volta de 1713. O que eles viram foi que o número total de desarranjos de um grupo com N membros é o número inteiro mais próximo de N fatorial dividido pela constante de Euler e = 2,718281828459045… (Será que os leitores se animam a verificar esse fato? Respostas são bem-vindas pelo e-mail viana.folhasp@gmail.com)

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