27/10/2020

Matemáticos desvendam segredo do dodecaedro

Ilustração: Quanta Magazine

Há mais questões sobre os cinco sólidos platônicos – tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro e dodecaedro – do que sonha a nossa vã filosofia. Que o digam os matemáticos, que já atravessam mais de 2 mil anos tentando decifrar segredos que as estruturas reservam. Recentemente, os pesquisadores Jayadev Athreya, da Universidade de Washington; David Aulicino, da Brooklyn College, e Patrick Hooper, da Faculdade da Cidade de Nova Iorque, resolveram uma das questões mais básicas sobre o dodecaedro. Suponha que você esteja em um dos cantos de um sólido platônico. Existe algum caminho reto que você pudesse seguir de volta para o ponto de partida, sem passar por nenhum dos outros cantos?

Nos quatro sólidos platônicos construídos a partir de quadrados ou triângulos equiláteros, os matemáticos descobriram que a resposta é não. Independente das alternativas possíveis, qualquer caminho reto começando a partir de uma curva, atingirá outra curva ou girará indefinidamente sem voltar ao ponto inicial. Mas com o dodecaedro, formado por 12 pentágonos, os matemáticos mostraram que há um número infinito de caminhos.

O artigo que trouxe a novidade matemática foi publicado em maio, na Experimental Mathematics, comprovando que estes caminhos podem ser divididos em 31 famílias naturais. A solução exigiu técnicas modernas e algoritmos de computador. “Há vinte anos, esta questão estava absolutamente fora de alcance. Há dez anos, isso exigiria um enorme esforço de escrever todo o software necessário, então só agora que todos os fatores se juntaram”, afirmou Anton Sorich, do Instituto de Matemática de Jussieu-Paris, à Quanta Magazine.

O projeto teve início em 2016, a partir de uma brincadeira com uma coleção de recortes de cartolina que se dobram em sólidos platônicos. “Foi uma espécie de exploração ociosa que encontrou uma oportunidade”, apontou Athreya à revista.

As especulações sobre possíveis caminhos retos no dodecaedro tem ganhado fôlego nos últimos anos, após ganhos na compreensão de “superfícies de translação ”. Este tipo de superfície é formado pela colagem de lados de paralelos de um polígono e se mostraram úteis para estudar uma ampla gama de tópicos envolvendo caminhos retos em formas com cantos, de trajetórias de mesa de bilhar até a questão de quando uma única luz pode iluminar completamente uma sala espelhada.

Em comum, esses problemas têm a ideia básica de desenrolar sua forma de modo que os caminhos que você está estudando sejam simplificados. Para entender caminhos retos em um sólido platônico, você pode começar cortando bordas abertas o suficiente para trazer o sólido plano, formando o que matemáticos chamam de rede. Uma rede para o cubo, por exemplo, é uma forma de “T”, feita de seis quadrados.

Quer saber mais sobre a descoberta? Confira no vídeo!