05/07/2023

Folha: Viana fala sobre a magia dos quadrados mágicos

Reprodução da coluna de Marcelo Viana na Folha de S. Paulo

“Melancolia I”, de 1514, é uma das gravuras mais famosas do mestre alemão Albrecht Dürer (1471–1528). Ao centro, uma figura feminina alada, que se acredita ser a representação da melancolia, apoia o rosto enigmático e sombrio em uma das mãos. Em volta, objetos do mundo da técnica — compasso, plaina, ampulheta, balança, serra, martelo — e outros que remetem à matemática e à numerologia. Um deles, situado acima da cabeça da mulher, sempre atrai o meu olhar: um quadrado mágico.

Um quadrado mágico de ordem N consiste de um quadrado N x N preenchido com os números 1, 2, 3, …, N² de tal forma que a soma dos números em cada linha, em cada coluna e em cada diagonal tem sempre o mesmo valor. Esse valor, chamado constante mágica, é dado pela fórmula N(N²+1)/2.

Sabemos que existe essencialmente um único quadrado mágico de ordem 3: todos os demais podem ser obtidos dele por meio de operações simples como simetrias e rotações. Neste caso a constante mágica é 15. Já o quadrado mágico de Dürer é de ordem 4 e, portanto, a sua constante mágica é 34.

Existem exatamente 880 quadrados mágicos distintos de ordem 4. O número cresce rapidamente: para N=5 são 275.305.224, e para N=6 passam de 10¹⁹ (1 seguido de 19 zeros). De fato, para ordens maiores do que 5 só temos estimativas grosseiras do número de quadrados mágicos distintos.

O estudo dos quadrados mágicos tem uma longa história. A primeira menção conhecida —um quadrado de ordem 3— é de 190 a.C. na China. Já o primeiro registro de um quadrado mágico de ordem 4 data de 587 na Índia. A “Enciclopédia dos Irmãos da Pureza”, publicada em Bagdá em 983, contém exemplos de todas as ordens até 9.

O interesse pelos quadrados mágicos espalhou-se a muitas outras culturas: Japão, Oriente Médio, África e Península Ibérica, de onde alcançou a Europa como um todo. Ao final do século 12, os principais métodos para construir esses quadrados já tinham sido descobertos, mas ainda houve muito progresso no Renascimento e além.

Para ler o texto na íntegra acesse o site do jornal.