16/10/2024

Folha: ‘Adição e multiplicação não se entendem’

Reprodução da coluna de Marcelo Viana na Folha de S. Paulo.

Pegue o seu número inteiro favorito, n, eleve ao quadrado e adicione 1. Por exemplo, se n=4 o resultado é n²+1=17. É uma conta simples, mas encerra vários mistérios. Por exemplo, não sabemos se o conjunto dos números primos desta forma n²+1 é finito ou infinito.

O problema é que esse cálculo envolve tanto a adição quanto a multiplicação e, embora se trate das duas operações mais básicas da matemática, a relação entre elas é mal compreendida. Essa combinação de conceitos multiplicativos, como o de número primo, com a adição aparece em outros problemas matemáticos famosos cuja solução também não conhecemos (ainda?).

Por exemplo, o problema dos primos gêmeos pergunta se há um conjunto infinito de pares de primos (como 3 e 5, ou 17 e 19) cuja diferença é igual a 2. A conjectura de Goldbach diz que todo inteiro par maior do que 4 é soma de dois primos. E a conjectura abc afirma que se a, b e c são inteiros sem fatores primos comuns tais que a+b=c então o produto dos seus fatores primos é bem maior do que c.

No nosso caso, é claro que quando n cresce, o resultado n²+1 também cresce. Em 1898, o norueguês Carl Størmer (1874–1957) provou algo muito mais interessante: o maior fator primo de n²+1 também cresce arbitrariamente (os matemáticos dizem que “vai para infinito”) quando n cresce. Mas com que velocidade isso acontece? Essa questão vem mantendo os matemáticos ocupados há mais de um século.

A principal dificuldade é que o comportamento desse maior fator primo é muito complicado. Por exemplo, para n=24.208.143 temos que n²+1=586.034.187.508.450, cujo maior fator primo é enorme: 67.749.617.053. Já o valor seguinte da sequência, para n=24.208.144, é n²+1=586.034.235.924.737, cujo maior fator primo é apenas 89.

O primeiro resultado quantitativo foi obtido nos anos 1930, independentemente, pelo norte-americano Sarvadaman Chowla (1907–1995) e pelo alemão Kurt Mahler (1903–1998): eles provaram que o maior fator primo de n²+1 é sempre maior do que log (log n), onde log representa o logaritmo natural (neperiano).

A sequência log (log n) cresce para infinito quando n cresce, logo o teorema de Chowla–Mahler implica o teorema de Størmer. Mas esse crescimento é muito, muito lento e sempre houve a convicção de que a estimativa de Chowla–Mahler poderia e deveria ser melhorada. Apesar disso, quase não houve progresso até o final de 2023, quando o pesquisador Hector Pasten, da PUC de Santiago do Chile, obteve o maior avanço neste problema em nove décadas.

Pasten vem pensando em problemas deste tipo desde 2012, quando iniciou o doutorado na Queen’s University, em Ontario, Canadá. Nesse tempo, ele se tornou um dos principais especialistas nesta área da teoria dos números. Um belo dia, em novembro passado, quando deveria estar fazendo outra coisa –preparando um exame para seus alunos–, preferiu se divertir pensando em matemática. Eu não posso jogar a primeira pedra…

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