Sistemas Dinâmicos e Teoria Ergódica

Ao final do século XIX Poincaré se interessa pelo estudo da Mecânica Celeste buscando, em particular, compreender a evolução do nosso sistema solar.

Enquanto a abordagem utilizada até então ia no sentido de resolver as equações diferenciais do movimento, analítica ou numericamente, Poincaré propõe a utilização de ferramentas vindas de outras áreas, como a Topologia, a Geometria, a Álgebra e Análise, para obter uma descrição qualitativa e, quando possível, quantitativa do comportamento do sistema. Esta proposta, que remonta à sua tese, marca o nascimento de Sistemas Dinâmicos como disciplina matemática, tendo como objetivo desenvolver uma teoria capaz de prever a evolução dos fenômenos naturais e humanos observados nos diversos ramos do conhecimento.

Esta disciplina teve contribuições fundamentais de alguns dos maiores matemáticos do século XX, tais como Lyapunov, Andronov, Birkhoff e Kolmogorov. Neste processo, o seu âmbito foi muito alargado, vindo a abranger outros modelos de evolução no tempo, além das equações diferenciais: iterações de transformações, equações às diferenças, equações diferenciais parciais de evolução, transformações e equações diferenciais estocásticas. Ao mesmo tempo, intensificou-se a aplicação de resultados e métodos de Sistemas Dinâmicos na explicação de fenômenos complexos nas diversas ciências: Química (reações químicas, processos industriais), Física (turbulência, transição de fase, ótica), Biologia (competição de espécies, neurobiologia), Economia (modelos de crescimento econômico, mercado financeiro) e muitos outros.

Entre as ferramentas utilizadas por Poincaré, contava-se o estudo das medidas de probabilidade invariantes sob a ação do sistema, que é o objetivo da Teoria Ergódica. De fato, esta disciplina remonta aos trabalhos de Boltzmann, Maxwell e Gibbs, que fundaram a Teoria Cinética dos Gases na segunda metade do século XIX. Os teoremas ergódicos provados por Birkhoff e Von Neumann nas primeiras décadas do século XX criaram os fundamentos desta disciplina, que iria se mostrar notavelmente bem sucedida no âmbito dos sistemas dinâmicos diferenciáveis.

A principal razão foi a constatação, a partir dos trabalhos de Lorenz sobre convecção e previsão do tempo, de que estocasticidade não é apanágio dos sistemas complexos: mesmo fenômenos determinísticos com leis de evolução simples podem se comportar de modo aparentemente imprevisível, já que as suas trajetórias dependem sensitivamente do estado inicial (comportamento caótico). A Teoria Ergódica pode, então, conduzir a uma descrição muito detalhada desse comportamento, em termos estatísticos ou probabilísticos.

A pesquisa do grupo de Sistemas Dinâmicos do IMPA abrange as principais áreas de interesse atual na Dinâmica Dissipativa – que estuda sistemas gerais sem fazer hipóteses sobre as suas medidas invariantes – e também direções importantes da Dinâmica Conservativa, em que se supõe a existência de uma medida invariante especial, traduzindo alguma lei de conservação.

 

As atuais linhas de pesquisa no IMPA são

  • Atratores estranhos, medidas físicas, estabilidade estocástica
  • Bifurcações homoclínicas e dimensões fractais;
  • Dinâmica simplética
  • Dinâmica unidimensional;
  • Expoentes de Lyapunov e hiperbolicidade não uniforme;
  • Hiperbolicidade parcial, decomposição dominada, robustez dinâmica

 

Pesquisadores