Sistemas Dinâmicos e Teoria Ergódica

A Teoria dos Sistemas Dinâmicos remonta aos trabalhos de Henri Poincaré sobre equações diferenciais, ao final do século 19. Dado que a maioria das equações diferenciais não pode ser resolvida por meio de fórmulas, Poincaré defendeu uma nova abordagem: as soluções devem ser objeto de uma análise qualitativa, utilizando as ferramentas geométricas e probabilísticas disponíveis, a qual deve ser complementada com um estudo numérico da equação diferencial.

No século 20, Birkhoff, Smale, Palis, Anosov, Arnold, Sinai e muitos outros, comprovaram a força desta ideia. Uma etapa crucial foi a noção de sistema uniformemente hiperbólico, introduzida por Smale e utilizada por Anosov em seu teorema de ergodicidade do fluxo geodésico das variedades de curvatura negativa. Além disso, Palis e Smale conjecturaram que os sistemas uniformemente hiperbólicos, que são os mais caóticos, são também os mais estáveis.

O grupo do IMPA vem dando contribuições de primeira linha em tópicos tais como: teoria das bifurcações; tangências homoclínicas e dimensões fractais; atratores estranhos; transformações do intervalo; medidas físicas; sistemas parcialmente hiperbólicos ou com decomposição dominada; intercâmbios de intervalos e fluxo de Teichmüller; teoria espectral dos cociclos de Schrödinger; expoentes de Lyapunov e muitos outros.

A Teoria Ergódica estuda as propriedades estatísticas dos sistemas dinâmicos. Em termos matemáticos, ela lida com as medidas no espaço das configurações que permanecem estacionárias à medida que o fenômeno evolui. Como e com que velocidade o sistema evolui do estado inicial para o equilíbrio? Em equilíbrio, quais são as configurações mais prováveis? Com que velocidade o sistema retorna a configurações próximas da configuração inicial?

Esse assunto teve a sua origem na teoria cinética dos gases, desenvolvida no século 19 pelos físicos Boltzmann, Maxwell e Gibbs. Gases são formados por um número enorme de partículas (moléculas) em constante interação, o que torna inviável levar em conta o comportamento individual de cada partícula. Alternativamente, Boltzmann propôs deduzir as propriedades experimentais dos gases na natureza a partir de uma análise estatística de toda a população (ensemble) de suas moléculas.

O grupo de pesquisa do IMPA trabalha em vários aspectos desta teoria, tais como: propriedades ergódicas de sistemas parcialmente hiperbólicos; formalismo termodinâmico de sistemas não-uniformemente hiperbólicos; medidas físicas de atratores estranhos dissipativos; estabilidade estocástica; propriedades de mistura de intercâmbios de intervalos, fluxos de translação e fluxos de Teichmüller; expoentes de Lyapunov de cociclos lineares e difeomorfismos.

Um sistema dinâmico diz-se estável se o seu comportamento não muda de maneira qualitativa quando a sua lei de evolução é ligeiramente modificada. Por exemplo, se modificarmos um pouco o tamanho, o peso ou a forma de um pêndulo, continua sendo verdade que ele irá oscilar por um tempo até parar por efeito da dissipação de energia causada pelo atrito.

Na natureza existem muitos exemplos de sistemas estáveis, como o pêndulo com atrito, mas também de outros cujo comportamento é fortemente sensível a pequenas variações da lei de evolução. Por exemplo, pequenas modificações de um habitat ecológico podem conduzir a mudanças profundas nas espécies que nele convivem, inclusive com extinções em massa. Como podemos entender, explicar e prever estes fatos de maneira rigorosa? Como caracterizar a estabilidade, ou instabilidade, de um ponto de vista matemático? Estas são as questões fundamentais da Teoria das Bifurcações.

O trabalho que vem sendo desenvolvido no IMPA desde os anos 1970 nesta área faz uso de ferramentas muito sofisticadas, incluindo dimensões fractais, para analisar mudanças profundas e complexas do comportamento dinâmico.

 

As atuais linhas de pesquisa no IMPA são

  • Atratores estranhos, medidas físicas, estabilidade estocástica
  • Bifurcações homoclínicas e dimensões fractais;
  • Dinâmica simplética
  • Dinâmica unidimensional;
  • Expoentes de Lyapunov e hiperbolicidade não uniforme;
  • Hiperbolicidade parcial, decomposição dominada, robustez dinâmica