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Introdução às Curvas Algébricas Planas

Introdução às Curvas Algébricas Planas
Autor(es) : Israel Vainsencher
Páginas : 154
Publicação : IMPA, 2017
ISBN: 978-85-244-0102-2
3ª edição

O livro serve de texto para um curso introdutório ao fascinante domínio da Geometria Algébrica. Iniciando com uma revisão das curvas planas que se conhecem da Geometria elementar (tais como retas, cônicas, rosáceas…), estudam-se propriedades de curvas definidas por equação polinomial. O cálculo das interseções de duas curvas, incluindo os pontos no infinito, é enfatizado. Contém numerosos exercícios e ilustrações. Pode ser utilizado como roteiro para um curso de um semestre destinado a alunos de bacharelado e iniciação científica em Matemática ou áreas afins.

Descrição

… “la première est toujours si astreinte à la considération des figures, qu’elle ne peut exercer l’entendement sans fatiguer beaucoup l’imagination; et on s’est tellement assujetti en la dernière à certaines règles et à certains chiffres, qu’on en a fait un art confus et obscur qui embarrase l’esprit au lieu d’une science qui le cultive”.

Após enunciar este veredito, Descartes propôs-se a tomar o melhor da Geometria e da Álgebra, corrigindo os defeitos de uma pelas virtudes da outra. Nascia a Geometria Analítica Clássica. Dela são sucedâneas a Geometria Diferencial e a Geometria Algébrica.

Apesar da origem comum, é claro o desequilíbrio verificado nos currículos atuais quanto ao tratamento dispensado aos aspectos introdutórios dessas duas disciplinas. O estudante é devidamente apresentado ao triedro de Frenet, torção, curvatura…, mas se passa a distância do plano projetivo e curvas algébricas.

Estas notas foram escritas com o objetivo de servir de texto a um curso de um semestre, como disciplina eletiva destinada a alunos do terceiro ou quarto ano do Bacharelado, ou ainda como disciplina de iniciação científica. O teorema de Bezout é o resultado central do curso. Para apresentá-lo com rigor, é necessário empreender uma jornada razoável.

Nosso ponto de partida são as curvas planas usualmente estudadas na geometria elementar, tais como retas, cônicas, conchóides, etc… . Passamos em seguida a uma revisão crítica do conceito de curva algébrica, formulando uma definição rigorosa, ainda que mais abstrata.

No Capítulo 2, iniciamos o estudo da interseção de duas curvas. Introduzimos a resultante de dois polinômios e concluímos com um caso particular do teorema dos zeros de Hilbert.

Nos Capítulos 3 e 4 são exploradas as idéias básicas necessárias à demonstração do teorema de Bezout. Para que curvas de graus m e n se intersectem “sempre” em m.n pontos, é necessário explicar como alguns desses pontos devem ser contados mais de uma vez, quer seja por tangência quer pelo fato de uma das curvas “passar várias vezes” pelo ponto em questão; por fim, deve-se explicar como alguns outros podem estar no infinito…

No Capítulo 5 demonstramos o teorema de Bezout. No capítulo seguinte estudamos mais detalhadamente o índice de interseção de duas curvas.

O Capítulo 6 constitui-se quase que numa revisão da matéria: aplicamos o teorema de Bezout ao cálculo do número de tangentes inflexionais de uma curva e o de tangentes que passam por um ponto.

No Capítulo 7 ocorre uma certa mudança no objeto de estudo. Até então estivéramos interessados em analisar propriedades de uma curva como subconjunto do plano; agora examinamos o seu caráter funcional, i.e., propriedades do corpo de funções racionais.

O último tópico – cúbicas não singulares – tenta mostrar o sabor de coisa inacabada, mal disfarçando a esperança de que o leitor recorra à bibliografia indicada para explorar com mais profundidade o roteiro aqui iniciado.

Para conveniência do leitor, incluímos nesta edição revisada um apêndice com noções básicas de álgebra que são utilizadas no texto, notadamente o lema de Gauss e a propriedade de fatoração única para polinômios a coeficientes num corpo.

 

Conteúdo

Capítulo 1. Definições Preliminares e Exemplos

1. Um pouco de história
2. Equação de uma curva algébrica
3. Mudança de coordenadas

Capítulo 2. Interseções de Curvas Planas

1. Finitude da interseção
2. A resultante
3. O grau da resultante
4. O teorema dos zeros

Capítulo 3. Multiplicidades

1. Interseção de uma curva com uma reta
2. Pontos múltiplos
3. Diagrama de Newton

Capítulo 4. Pontos no Infinito

1. O plano projetivo
2. Espaços projetivos
3. Curvas projetivas
4. Mudança de coordenadas projetivas

Capítulo 5. Interseção de Curvas

1. Interseção de reta e curva, agora projetivas
2. O teorema de Bézout

Capítulo 6. Propriedades do Índice

1. As propriedades características
2. Séries de potências

Capítulo 7. Fórmulas de Plücker

1. Curvas polares
2. A hessiana

Capítulo 8. Curvas Racionais

1. Curvas racionais afins
2. Funções regulares e funções racionais
3. O teorema de Luröth
4. Curvas racionais projetivas
5. O gênero virtual
6. Aplicação ao cálculo integral
7. Curvas de Bézier

Capítulo 9. Cúbicas Não Singulares

1. Conexões inesperadas
2. Forma normal
3. Funções racionais
4. Ciclos e equivalência racional
5. A estrutura de grupo

Apêndice

1. Anéis, ideais e homomorfismos
2. Polinômios
3. Domínios de fatoração única e lema de Gauss
4. Extensões de corpos

Bibliografia

Índice

Autor

Israel Vainsencher

Israel Vainsencher é Professor Titular da Universidade Federal de Pernambuco. Obteve o grau de Doutor no Massachusetts Institute of Technology (EUA). Sua área de pesquisa é dedicada a questões enumerativas em Geometria Algébrica.