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Iniciação à Física Matemática

Iniciação à Física Matemática
Autor(es) : Juan López Gondar e Rolci Cipolatti
Páginas : 304
Publicação : IMPA, 2016
ISBN: 978-85-244-0287-6
2ª edição

Descrição

Este texto (projetado tanto para os alunos das ciências exatas quanto das engenharias) foi concebido com os seguintes objetivos (bem modestos mas não por isso menos relevantes): iniciar os estudantes destas especialidades dentro da lógica e das técnicas inerentes à modelagem matemática, à análise dos modelos obtidos e das consequências que deles se derivam, e aos métodos de solução das equações através das quais eles se exprimem. Neste primeiro estágio, e até por não ser este um curso de especialização, e sim de preparação para tarefas mais específicas no futuro imediato, vamos nos limitar basicamente a ilustrar as abordagens dentro de um terreno que, de alguma forma, todos supostamente conhecem: a “Física Newtoniana”. No entanto, tentaremos, também, avançar um pouco no nível de informação, incluindo alguns temas sobre Teoria Especial da Relatividade e Mecânica Quântica, não por qualquer tipo de arroubo intelectual, mas porque a lógica aqui é outra, fazendo com que o mundo real seja bem mais complicado que aquele que interpretamos através dos nossos sentidos. Além do mais, as correções e enfoques relativistas são cada dia mais frequentes no nosso cotidiano e, no que concerne à equação de Schrödinger, ela aparece, inclusive, em contextos clássicos, tais como em certos modelos de ondas de água (embora não tenha sido neles que originalmente surgiu). Para finalizar, faremos algumas conjecturas sobre um modelo que nada tem a ver com as leis do movimento (sejam elas clássicas ou quânticas): a simulação da propagação de virus virtuais (aqueles que afetam os dispositivos eletrônicos de recepção e transmissão de dados). O objetivo desta última abordagem não consiste, somente, em apresentar uma variante da modelagem fora do campo da física mas, paralelamente, o de informar sobre resultados interessantes de pesquisas desenvolvidas recentemente.

No primeiro capítulo, além de estabelecer alguns princípios básicos inerentes às técnicas de modelagem, pretendemos mostrar como é que eles funcionam em situações concretas. Para isso, modelos simples, que respondem a equações diferenciais ordinárias, constituirão o ponto de partida. Neste capítulo comentaremos, também, o uso da delta de Dirac na simulação de impulsos espacialmente (ou temporalmente) localizados. O segundo capítulo tem como objetivo introduzir um modelo para descrever as ondas mecânicas em um meio contínuo unidimensional. Já no terceiro capítulo do livro, abordaremos a “equação do calor” e aproveitaremos essa incursão para introduzir o conceito de “função de Green”. O capítulo IV aborda fenômenos estacionários, onde o foco é o problema de Dirichlet para o operador laplaciano. O capítulo V vai tratar da modelagem de fluidos em movimento. O sexto capítulo apresentará os aspectos centrais da Teoria da Relatividade Restrita e as mudanças conceituais e de formulação que ela introduz. O capítulo VII discutirá os conceitos e equações que descrevem alguns fenômenos do micro-mundo e o capítulo VIII abordará a simulação do processo de propagação de virus virtuais. Um capítulo adicional (Capítulo IX) foi introduzido com a finalidade de resumir as características e propriedades mais relevantes das séries e transformada de Fourier, devido a seu reiterado uso ao longo do texto.

Uma compreensão adequada deste livro exige que sejam satisfeitos alguns pré-requisitos mínimos. Para isso, o leitor deve ter cursado previamente, pelo menos, as matérias que seguem: 1) Álgebra Linear, com ênfase nos temas de espaços vetoriais de dimensão finita, transformações lineares, mudança de base, autovalores e autovetores e teorema espectral; 2) Cálculo Diferencial e Integral em uma e várias variáveis; 3) Equações diferenciais ordinárias; 4) Física básica com destaque na mecânica newtoniana e eletromagnetismo. Além disso, um conhecimento de Análise Real será necessário para a compreensão de alguns resultados e demonstrações apresentadas, principalmente no Capítulo IX. Em outras questões aqui tratadas, como “função” de Dirac, método de separação de variáveis em equações diferenciais parciais, função de Green, etc, estimamos que, pela abordagem realizada, o livro seja, por si só, autoconsistente.

 

Conteúdo

Capítulo 1:  Modelando o movimento de partículas

 1. Modelos empíricos e modelos teóricos   
 2. O problema de dois corpos                    
 3. O movimento vertical de um corpo em relação à Terra
 4. A viscosidade do ar                          
 5. Lançamento a grandes alturas             
 6. Lançamento vertical de um corpo autopropulsado
 7. Movimentos oscilatórios                     

Oscilações amortecidas           
O sistema massa-elástico             
Oscilações forçadas e fenômeno de ressonância

8. Movimento pendular                           
9. Movimento de uma carga elétrica em um campo magnético
10. Modelando impulsos: a “função” delta de Dirac

Nota histórica          

11. Apêndice: núcleos de Dirac               
12. Exercícios                              
13. Bibliografia                                 

Capítulo 2: Ondas em uma dimensão      

1. Ondas – conceitos básicos                 
2. As cadeias moleculares                       
3. Oscilações longitudinais de uma barra elástica
4. As oscilações de uma corda elástica  

Oscilações longitudinais da corda   
Oscilações transversais da corda    
O modelo linear                          
O modelo de Kirchhoff-Carrier      
Oscilações transversais na presença de forças externas

5. Ondas de torção em uma barra elástica
6. Solução da equação da onda        

A fórmula de d’Alembert                
O princípio de Duhamel               
Unicidade de solução               
Oscilações unidimensionais em um meio semi-infinito
Oscilações unidimensionais em um meio limitado: o método de separação de variáveis             
Decomposição em harmônicos e as notas musicais 
Nota histórica                        
Apêndice: a energia mecânica das oscilações da corda com extremos fixos

7. Exercícios                          
8. Bibliografia                                 
 
Capitulo 3:  Fenômenos de difusão       

1. A equação da continuidade              

A equação da difusão                 
A equação do calor                    

2. A solução fundamental                  
3. Formulação do problema de contorno      
4. O método de separação de variáveis 

Condições de Dirichlet                  
A função de Green                       
A equação não-homogênea             
Condições de Neumann                    
Condições de Robin                      
Unicidade                                    
Explorando a função de Green            
Comportamento assintótico                 

5. Exercícios                              
6. Bibliografia                                 

Capítulo 4: Fenômenos Estacionários    

1. As equações de Laplace e Poisson       

Funções harmônicas                    

2. O problema de Dirichlet                      

A função de Green para o problema de Dirichlet 2D
A fórmula de inversão Kelvin             
A fórmula de Poisson princípio variacional de Dirichlet    

3. Simetrização e aplicações         

A conjectura de Saint Vénant                 
A simetrização                          
A conjectura de Lord Rayleigh                

4. As equações de Maxwell                 

Ondas eletromagnéticas no vácuo         
Os potenciais escalar e vetorial em 3D     
O equilíbrio de um plasma em um Tokamak 
Uma breve história do eletromagnetismo    

5. Exercícios                             
6. Bibliografia                                 
 
Capítulo 5: Ondas de água               

1. As equações de Stokes                  
2. Ondas na superfície livre               
3. As equações de Bernoulli                
4. O fenômeno da dispersão                  
5. Dispersão em águas profundas             
6. Descrição geral das ondas de superfície
7. Amplitude modulada: a equação de Schrödinger
8. As equações de águas rasas            
9. Descoberta dos sólitons:  KdV             
10. Apêndice: deduzindo a KdV                 
11. Exercícios                              
12. Bibliografia                                 
 

Capítulo 6:  Efeitos Relativistas           

1. Princípio de relatividade de Galileu   
2. Transformações e Lorentz                
3. Contração dos comprimentos e dilatação do tempo
4. Adição de velocidades                   
5. Cone de luz e diagramas de Minkowsky         
6. A equação de Einstein:  E=mc2       
7. Forma covariante da equação da onda eletro-magnética
8. Apêndice: paradoxos                        
9. Exercícios                              
10. Bibliografia                                 
 
Capítulo 7: Os modelos do micromundo      

1. Os postulados da Mecânica Quântica       

O primeiro postulado                         
O segundo postulado                          

2. Os operadores quânticos                    
3. Autovalores e autovetores dos operadores quânticos

A segunda lei de Newton na Mecânica Quântica

4. Princípio da incerteza de Heisenberg     

As medições no micromundo               
Medições simultâneas                 

5. Solução da equação de Schrödinger

Modelos unidimensionais                    
Modelos tridimensionais: campo central      
Notas históricas                          

6. Apêndice: funções especiais da Física Matemática

Os polinômios de Hermite                                                                  
As funções hipergeométricas              

7. Exercícios                               
8. Bibliografia                                
                                 

Capítulo 8:  Modelando infecções virtuais

1. Infecções virtuais: hipóteses de trabalho
2. Modelando a dinâmica da propagação
3. Aspectos matemáticos do modelo             
4. O problema das distribuições não-uniformes

Soluções estacionárias                

5. Exercícios                               
6. Bibliografia                                 

Capítulo 9: Sobre séries e integrais de Fourier

1. Séries de Fourier                          

Convergência pontual da série de Fourier 
Convergência uniforme  da série de Fourier
Os coeficientes de Fourier como sistema de coordenadas em dimensão infinita
A forma complexa da série de Fourier       

2. A transformada de Fourier                   

Propriedades básicas da transformada de Fourier
O espaço de Schwartz                     
O produto de convolução                 
O Teorema de Plancherel-Parceval             
As autofunções de F            

3. Notas históricas                          
4. Resumos dos principais resultados           
5. Exercícios                               
6. Bibliografia       

Autores

Juan López Gondar

É Licenciado e Bacharel em Física, tendo obtido seu grau de Doutor em Ciências Físico-Matemáticas pela Universidade de Havana, Cuba. Foi inicialmente professor do Departamento de Física Teórica da Faculdade de Física da Universidade de Havana, posteriormente lecionou como professor do Departamento de Física dos Sólidos do Instituto de Física da UFRJ e, atualmente, exerce suas funções acadêmicas no Departamento de Matemática Aplicada do Instituto de Matemática, também da UFRJ. É autor de diversos artigos, publicados em revistas internacionais especializadas nas suas áreas de pesquisa. Seus temas de interesse concentram-se, basicamente, na física teórica das nano-estruturas semicondutoras e na modelagem matemática de processos de propagação de doenças contagiosas.

 

Rolci Cipolatti

Diplomou-se em Matemática pela Universidade Federal do Rio de Janeiro, onde também concluiu o Mestrado em Matemática. Obteve seu título de Doutor em Matemática Aplicada pela Universidade de Paris-XI, França, e é atualmente Professor Titular da Universidade Federal do Rio de Janeiro, exercendo suas atividades acadêmicas de graduação e pós-graduação no Instituto de Matemática da UFRJ. Foi ainda Professor Visitante nas Universidades de Paris-XI, Paris-VI e Bordeaux-I. É autor de vários artigos científicos publicados em revistas de circulação internacional nas áreas de Equações Diferenciais Parciais e Modelagem Matemática.