DESCRIÇÃO
O livro de Física-Matemática vem preencher um vazio que existe na literatura em língua portuguesa, relacionada com este tema.
O enfoque que nele se introduz é pouco ortodoxo, colocando-se especial ênfase nos princípios básicos da modelagem matemática, que vão da formulação das hipóteses de trabalho à geração das equações que descrevem os processos que serão objeto de estudo.
Fugindo das apresentações tradicionais, destinamos uma parte representativa dos capítulos a temas bem menos clássicos que os tratados convencionalmente neste tipo de obra – uma exigência, ao nosso juízo, que deve se impor como tendência no decorrer do tempo. Cabe também destacar como aspecto positivo que, salvo alguns pré-requisitos declarados no prefácio do texto, ele é autossuficiente.
Devido ao rigor no tratamento matemático, assim como à abrangência, atualidade e intrínseca complexidade de determinados temas, deixa-se à avaliação criteriosa de cada professor da disciplina decidir quais seções, ou capítulos, serão destinados ao ensino de graduação e quais reservados para a pós-graduação.
CONTEÚDO
Capítulo 1: Modelando o movimento de partículas
1. Modelos empíricos e modelos teóricos
2. Oproblema de dois corpos
3. O movimento vertical de um corpo em relação à Terra
4. A viscosidade do ar
5. Lançamento a grandes alturas
6. Lançamento vertical de um corpo autopropulsado
7. Movimentos oscilatórios
Oscilações amortecidas
O sistema massa-elástico
Oscilações forçadas e fenômeno de ressonância
8. Movimento pendular
9. Movimento de uma carga elétrica em um campo magnético
10. Modelando impulsos: a “função” delta de Dirac
Nota histórica
11. Apêndice: núcleos de Dirac
12. Exercícios
13. Bibliografia
Capítulo 2: Ondas em uma dimensão
1. Ondas – conceitos básicos
2. As cadeias moleculares
3. Oscilações longitudinais de uma barra elástica
4. As oscilações de uma corda elástica
Oscilações longitudinais da corda
Oscilações transversais da corda
O modelo linear
O modelo de Kirchhoff-Carrier
Oscilações transversais na presença de forças externas
5. Ondas de torção em uma barra elástica
6. Solução da equação da onda
A fórmula de d’ Alembert
O princípio de Duhamel
Unicidade de solução
Oscilações unidimensionais em um meio semi-finito
Oscilações unidimensionais em um meio limitado: o método de separação de variáveis
Decomposição em harmônicos e as notas musicais
Nota histórica
Apêndice: a energia mecânica das oscilações da corda com extremos fixos
7.1 Exercícios
8. Bibliografia
Capítulo 3: Fenômenos de difusão
1. A equação da continuidade
A equação da difusão
A equação do calor
2. A solução fundamental
3. Formulação do problema de contorno
4. O método de separação de variáveis
Condições de Dirichlet
A função de Green
A equação não-homogênea
Condições de Neumann
Condições de Robin
Unicidade
Explorando a função de Green
Comportamento assintótico
5. Exercícios
6. Bibliografia
Capítulo 4: Fenômenos Estacionários
1. As equações de Laplace e Poisson
Funções harmônicas
2. O problema de Dirichlet
A função de Green para o problema de Dirichlet 2D
A fórmula de inversão de Kelvin
A fórmula de Poisson
O princípio variacional de Dirichlet
3. Simetrização e aplicações
A conjectura de Saint Vénant
A simetrização
A conjectura de Lord Rayleigh
4. As equações de Maxwell
Ondas eletromagnéticas no vácuo
Os potenciais escalar e vetorial em 3D
O equilíbrio de um plasma em um Tokamak
Uma breve história do eletromagnetismo
5. Exercícios
6. Bibliografia
Capítulo 5: Ondas de água
1. As equações de Stokes
2. Ondas na superfície livre
3. As equações de Bernoulli
4. O fenômeno da dispersão
5. Dispersão em águas profundas
6. Descrição geral das ondas de superfície
7. Amplitude modulada: a equação de Schrödinger
8. As equações de águas rasas
9. Descoberta dos sólitons: KdV
10. Apêndice: deduzindo a KdV
11. Exercícios
12. Bibliografia
Capítulo 6: Efeitos Relativistas
1. Princípio de relatividade de Galileu
2. Transformações de Lorentz
3. Contração dos comprimentos e dilatação do tempo
4. Adição de velocidades
5. Cone de luz e diagramas de Minkowsky
6. A equação de Einstein: E = mc2
7. Forma covariante da equação da onda eletromagnética
8. Apêndice: paradoxos
9. Exercícios
10. Bibliografia
Capítulo 7: Os modelos do micromundo
1. Os postulados da Mecânica Quântica
O primeiro postulado
O segundo postulado
2. Os operadores quânticos
3. Autovalores e autovetores dos operadores quânticos
A segunda lei de Newton na Mecânica Quântica
4. Princípio da incerteza de Heisenberg
As medições no micromundo
Medições simultâneas
5. Solução da equação de Schrödinger
Modelos unidimensionais
Modelos tridimensionais: campo central
Notas históricas
6. Apêndice: funções especiais da Física Matemática
Os polinômios de Hermite
As funções hipergeométricas
7. Exercícios
8. Bibliografia
Capítulo 8: Modelando infecções virtuais
1. Infecções virtuais: hipótese de trabalho
2. Modelando a dinâmica da propagação
3. Aspectos matemáticos do modelo
4. O problema das distribuições não-uniformes
Soluções estacionárias
5. Exercicios
6. Bibliografia
Capítulo 9: Sobre séries o integrais de Fourier
1. Séries de Fourier
Convergência pontual da série de Fourier
Convergência uniforme da série de Fourier
Os coeficientes de Fourier como sistema de coordenadas em dimensão infinita
A forma complexa da série de Fourier
2. A transformada de Fourier
Propriedades básicas da transformada de Fourier
O espaço de Schwartz
O produto de convolução
O Teorema de Plancherel-Parceval
As Autofunções de F
3. Notas históricas
4. Resumos dos principais resultados
5. Exercícios
6. Bibliografia
Índice
SOBRE OS AUTORES
Juan López Gondar
É Licenciado e Bacharel em Física, tendo obtido seu grau de Doutor em Ciências Físico-Matemáticas pela Universidade de Havana, Cuba. Foi inicialmente professor do Departamento de Física Teórica da Faculdade de Física da Universidade de Havana, posteriormente lecionou como professor do Departamento de Física dos Sólidos do Instituto de Física da UFRJ e, atualmente, exerce suas funções acadêmicas no Departamento de Matemática Aplicada do Instituto de Matemática, também da UFRJ. É autor de diversos artigos, publicados em revistas internacionais especializadas nas suas áreas de pesquisa. Seus temas de interesse concentram-se, basicamente, na física teórica das nano-estruturas semicondutoras e na modelagem matemática de processos de propagação de doenças contagiosas.
Rolci Cipolatti
Diplomou-se em Matemática pela Universidade Federal do Rio de Janeiro, onde também concluiu o Mestrado em Matemática. Obteve seu título de Doutor em Matemática Aplicada pela Universidade de Paris-XI, França, e é atualmente Professor Titular da Universidade Federal do Rio de Janeiro, exercendo suas atividades acadêmicas de graduação e pós-graduação no Instituto de Matemática da UFRJ. Foi ainda Professor Visitante nas Universidades de Paris-XI, Paris-VI e Bordeaux-I. É autor de vários artigos científicos publicados em revistas de circulação internacional nas áreas de Equações Diferenciais Parciais e Modelagem Matemática.
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