Iniciação à Física Matemática

Descrição

Este texto (projetado tanto para os alunos das ciências exatas quanto das engenharias) foi concebido com os seguintes objetivos (bem modestos mas não por isso menos relevantes): iniciar os estudantes destas especialidades dentro da lógica e das técnicas inerentes à modelagem matemática, à análise dos modelos obtidos e das consequências que deles se derivam, e aos métodos de solução das equações através das quais eles se exprimem. Neste primeiro estágio, e até por não ser este um curso de especialização, e sim de preparação para tarefas mais específicas no futuro imediato, vamos nos limitar basicamente a ilustrar as abordagens dentro de um terreno que, de alguma forma, todos supostamente conhecem: a “Física Newtoniana”. No entanto, tentaremos, também, avançar um pouco no nível de informação, incluindo alguns temas sobre Teoria Especial da Relatividade e Mecânica Quântica, não por qualquer tipo de arroubo intelectual, mas porque a lógica aqui é outra, fazendo com que o mundo real seja bem mais complicado que aquele que interpretamos através dos nossos sentidos. Além do mais, as correções e enfoques relativistas são cada dia mais frequentes no nosso cotidiano e, no que concerne à equação de Schrödinger, ela aparece, inclusive, em contextos clássicos, tais como em certos modelos de ondas de água (embora não tenha sido neles que originalmente surgiu). Para finalizar, faremos algumas conjecturas sobre um modelo que nada tem a ver com as leis do movimento (sejam elas clássicas ou quânticas): a simulação da propagação de virus virtuais (aqueles que afetam os dispositivos eletrônicos de recepção e transmissão de dados). O objetivo desta última abordagem não consiste, somente, em apresentar uma variante da modelagem fora do campo da física mas, paralelamente, o de informar sobre resultados interessantes de pesquisas desenvolvidas recentemente.

No primeiro capítulo, além de estabelecer alguns princípios básicos inerentes às técnicas de modelagem, pretendemos mostrar como é que eles funcionam em situações concretas. Para isso, modelos simples, que respondem a equações diferenciais ordinárias, constituirão o ponto de partida. Neste capítulo comentaremos, também, o uso da delta de Dirac na simulação de impulsos espacialmente (ou temporalmente) localizados. O segundo capítulo tem como objetivo introduzir um modelo para descrever as ondas mecânicas em um meio contínuo unidimensional. Já no terceiro capítulo do livro, abordaremos a “equação do calor” e aproveitaremos essa incursão para introduzir o conceito de “função de Green”. O capítulo IV aborda fenômenos estacionários, onde o foco é o problema de Dirichlet para o operador laplaciano. O capítulo V vai tratar da modelagem de fluidos em movimento. O sexto capítulo apresentará os aspectos centrais da Teoria da Relatividade Restrita e as mudanças conceituais e de formulação que ela introduz. O capítulo VII discutirá os conceitos e equações que descrevem alguns fenômenos do micro-mundo e o capítulo VIII abordará a simulação do processo de propagação de virus virtuais. Um capítulo adicional (Capítulo IX) foi introduzido com a finalidade de resumir as características e propriedades mais relevantes das séries e transformada de Fourier, devido a seu reiterado uso ao longo do texto.

Uma compreensão adequada deste livro exige que sejam satisfeitos alguns pré-requisitos mínimos. Para isso, o leitor deve ter cursado previamente, pelo menos, as matérias que seguem: 1) Álgebra Linear, com ênfase nos temas de espaços vetoriais de dimensão finita, transformações lineares, mudança de base, autovalores e autovetores e teorema espectral; 2) Cálculo Diferencial e Integral em uma e várias variáveis; 3) Equações diferenciais ordinárias; 4) Física básica com destaque na mecânica newtoniana e eletromagnetismo. Além disso, um conhecimento de Análise Real será necessário para a compreensão de alguns resultados e demonstrações apresentadas, principalmente no Capítulo IX. Em outras questões aqui tratadas, como “função” de Dirac, método de separação de variáveis em equações diferenciais parciais, função de Green, etc, estimamos que, pela abordagem realizada, o livro seja, por si só, autoconsistente.

Conteúdo

Capítulo 1:  Modelando o movimento de partículas

 1. Modelos empíricos e modelos teóricos   
 2. O problema de dois corpos                    
 3. O movimento vertical de um corpo em relação à Terra
 4. A viscosidade do ar                          
 5. Lançamento a grandes alturas             
 6. Lançamento vertical de um corpo autopropulsado
 7. Movimentos oscilatórios                     

8. Movimento pendular                           
9. Movimento de uma carga elétrica em um campo magnético
10. Modelando impulsos: a “função” delta de Dirac

11. Apêndice: núcleos de Dirac               
12. Exercícios                              
13. Bibliografia                                 

Capítulo 2: Ondas em uma dimensão      

1. Ondas – conceitos básicos                 
2. As cadeias moleculares                       
3. Oscilações longitudinais de uma barra elástica
4. As oscilações de uma corda elástica  

5. Ondas de torção em uma barra elástica
6. Solução da equação da onda        

7. Exercícios                          
8. Bibliografia                                 
 
Capitulo 3:  Fenômenos de difusão       

1. A equação da continuidade              

2. A solução fundamental                  
3. Formulação do problema de contorno      
4. O método de separação de variáveis 

5. Exercícios                              
6. Bibliografia                                 

Capítulo 4: Fenômenos Estacionários    

1. As equações de Laplace e Poisson       

2. O problema de Dirichlet                      

3. Simetrização e aplicações         

4. As equações de Maxwell                 

5. Exercícios                             
6. Bibliografia                                 
 
Capítulo 5: Ondas de água               

1. As equações de Stokes                  
2. Ondas na superfície livre               
3. As equações de Bernoulli                
4. O fenômeno da dispersão                  
5. Dispersão em águas profundas             
6. Descrição geral das ondas de superfície
7. Amplitude modulada: a equação de Schrödinger
8. As equações de águas rasas            
9. Descoberta dos sólitons:  KdV             
10. Apêndice: deduzindo a KdV                 
11. Exercícios                              
12. Bibliografia                                 
 

Capítulo 6:  Efeitos Relativistas           

1. Princípio de relatividade de Galileu   
2. Transformações e Lorentz                
3. Contração dos comprimentos e dilatação do tempo
4. Adição de velocidades                   
5. Cone de luz e diagramas de Minkowsky         
6. A equação de Einstein:  E=mc²       
7. Forma covariante da equação da onda eletro-magnética
8. Apêndice: paradoxos                        
9. Exercícios                              
10. Bibliografia                                 
 
Capítulo 7: Os modelos do micromundo      

1. Os postulados da Mecânica Quântica       

2. Os operadores quânticos                    
3. Autovalores e autovetores dos operadores quânticos

4. Princípio da incerteza de Heisenberg     

5. Solução da equação de Schrödinger

6. Apêndice: funções especiais da Física Matemática

7. Exercícios                               
8. Bibliografia                                
                                 

Capítulo 8:  Modelando infecções virtuais

1. Infecções virtuais: hipóteses de trabalho
2. Modelando a dinâmica da propagação
3. Aspectos matemáticos do modelo             
4. O problema das distribuições não-uniformes

5. Exercícios                               
6. Bibliografia                                 

Capítulo 9: Sobre séries e integrais de Fourier

1. Séries de Fourier                          

2. A transformada de Fourier                   

3. Notas históricas                          
4. Resumos dos principais resultados           
5. Exercícios                               
6. Bibliografia