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Cálculo em uma Variável Complexa

Cálculo em uma Variável Complexa
Autor :
Páginas : 196
Publicação : IMPA, 2016
ISBN: 978-85-244-0144-2
5ª edição

Este livro é uma introdução à teoria de funções de uma variável complexa voltada para cursos de graduação ou de nivelamento. O ponto de vista adotado consistiu em discorrer sobre tópicos da Teoria de Cauchy da maneira mais elementar possível, sem prejuízo do mínimo de rigor necessário ao entendimento correto de alguns resultados sobre funções holomorfas.

Descrição

Esse pequeno texto é orientado para um curso de graduação ou de nivelamento, introduzindo o básico e o minimamente essencial da teoria de funções de uma variável complexa. Nosso ponto de vista ao escrevê-lo teve por foco discorrer sobre tópicos da Teoria de Cauchy da maneira mais elementar possível, sem prejuízo do mínimo de rigor necessário ao entendimento correto de alguns resultados sobre funções holomorfas. Os pré-requisitos exigidos são um curso usual de Cálculo Real (uma e duas variáveis), um curso, também usual, de Geometria Analítica e Álgebra Linear e um pouco de treino na leitura de argumentos de cunho matemático.

Com o objetivo de torná-lo um texto o mais independente possível, alguns conceitos relativos ao Cálculo Real são revistos no capítulo II, onde também é revisto o Teorema de Green. É inevitável, levando em conta a nossa proposta para essas notas, que uns poucos resultados sejam admitidos sem demonstração. Quanto a esses, nossa escolha recaiu sobre o Teorema de Jordan, o Critério de Convergência de Cauchy e o Teorema dos Compactos Encaixantes. Finalmente, entendemos que deveríamos apresentar pelo menos um resultado não óbvio e ilustrativo do ambiente complexo; escolhemos o teorema de caracterização dos biholomorfismos do disco unitário.

 

Conteúdo

I. Números complexos

I.1 Introdução
I.2 O Corpo dos Números Complexos
I.3 Representação Polar
I.4 Exercícios

II. Cálculo no plano

II.1 Domínios
II.2 Limites, continuidade e diferenciabilidade
II.3 O Teorema de Green
II.4 Exercícios

III. Funções holomorfas

III.1 Funções complexas
III.2 Limites e continuidade
III.3 A derivada complexa
III.4 Funções holomorfas
III.5 A exponencial
III.6 O logaritmo
III.7 Potências arbitrárias
II.8 Exercícios

IV. Séries

IV.1 Seqüências e séries numéricas
IV.2 Séries de potências
IV.3 Exercícios
Apêndice: O raio de convergência

V. Teoria de Cauchy

V.1 Integração
V.2 Os teoremas de Cauchy
V.3 Exercícios

VI. Singularidades

VI.1 A expansão de Laurent
VI.2 Classificação de singularidades
VI.3 Resíduos
VI.4 O teorema de Rouché
VI.5 Cálculo de integrais utilizando resíduos
VI.6 Exercícios

VII. Aplicações conformes

VII.1 Preservação de ângulos
VII.2 A esfera de Riemann
VII.3 Transformações de Möbius
VII.4 Aplicações conformes entre domínios de planos complexos
VII.5 Aplicações conformes do disco no disco
VII.6 Exercícios

Bibliografia
Índice

Autor

Márcio Gomes Soares

Márcio Gomes Soares é professor titular da Universidade Federal de Minas Gerais. Obteve o grau de doutor pela Universidade de Liverpool (UK). Foi presidente da Sociedade Brasileira de Matemática de 1993 a 1997. Sua área de pesquisa é dedicada a questões geométricas da Teoria de Folheações Holomorfas.