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Análise Real, vol. 1

Análise Real, vol. 1
Autor(es) : Elon Lages Lima
Páginas : 198
Publicação : IMPA, 2017
ISBN: 978-85-244-0048-3
12ª edição

Análise Real, vol. 1 é uma introdução ao estudo das funções reais de uma variável real, dirigida aos alunos da universidade que já possuam experiência equivalente a um ou dois semestres de Cálculo. A apresentação é elementar, com exemplos ilustrativos. Praticamente todos os exercícios propostos são resolvidos no capítulo final.

O autor preocupou-se em justificar cuidadosamente todas as afirmações feitas, de forma coerente mas sem exageros formais. A escolha dos tópicos visou a um equilíbrio entre a estrutura lógica do assunto e a utilidade em possíveis aplicações.

Descrição

A finalidade deste livro é servir de texto para um primeiro curso de Análise Matemática. Os assuntos nele tratados são expostos de maneira simples e direta, evitando-se maiores digressões. Assim, espera-se facilitar o trabalho do professor que, ao adotá-lo, não precisará perder muito tempo selecionando os tópicos que ensinará e os que vai omitir. Turmas especiais, estudantes com mais experiência, leitores que desejem uma apresentação mais completa ou alunos normais em busca de leituras complementares poderão consultar o “Curso de Análise”, vol. 1, que trata de matéria semelhante sob forma mais abrangente e é aproximadamente duas vezes mais longo.

Os leitores visados são alunos com conhecimento equivalente a dois períodos letivos de Cálculo, de modo a terem familiaridade com as idéias de derivada e integral em seus aspectos mais elementares, principalmente o cálculo das funções mais conhecidas e a resolução de exercícios simples. Espera-se, além disso, que eles tenham uma noção razoavelmente clara do que seja uma demonstração matemática. A lista de pre-requisitos termina dizendo que o leitor deve estar habituado às notações costumeiras sobre conjuntos, tais como pertinência, união, intersecção, etc.

Uma parte importante do livro são seus 260 exercícios. Eles servem para fixação de aprendizagem, desenvolvimento de alguns temas esboçados no texto e como oportunidade para o leitor verificar se realmente entendeu o que acabou de ler. Soluções de 190 desses exercícios, de forma completa ou resumida, são apresentadas no capítulo final. Naturalmente, o recurso às soluções oferecidas deve ser feito somente depois de um sério esforço para resolver cada problema. É precisamente esse esforço que, bem ou mal sucedido, conduz ao êxito no processo de treinamento.

Conteúdo

Capítulo 1. Conjuntos Finitos e Infinitos

1. Números naturais
2. Conjuntos finitos
3. Conjuntos infinitos
4. Conjuntos enumeráveis
5. Exercícios

Capítulo 2. Números Reais

1. R é um corpo
2. R é um corpo ordenado
3. R é um corpo ordenado completo
4. Exercícios

Capítulo 3. Sequências de Números Reais

1. Limite de uma sequência
2. Limites e desigualdades
3. Operações com limites
4. Limites infinitos
5. Exercícios

Capítulo 4. Séries Numéricas

1. Séries convergentes
2. Séries absolutamente convergentes
3. Testes de convergência
4. Comutatividade
5. Exercícios

Capítulo 5. Algumas Noções Topológicas

1. Conjuntos abertos
2. Conjuntos fechados
3. Pontos de acumulação
4. Conjuntos compactos
5. O conjunto de Cantor
6. Exercícios

Capítulo 6. Limites de Funções

1. Definição e primeiras propriedades
2. Limites laterais
3. Limites no infinito, limites infinitos, expressões indeterminadas
4. Exercícios

Capítulo 7. Funções Contínuas

1. Definição e primeiras propriedades
2. Funções contínuas num intervalo
3. Funções contínuas em conjuntos compactos
4. Continuidade uniforme
5. Exercícios

Capítulo 8. Derivadas

1. A noção de derivada
2. Regras operacionais
3. Derivada e crescimento local
4. Funções deriváveis num intervalo
5. Exercícios

Capítulo 9. Fórmula de Taylor e Aplicações da Derivada

1. Fórmula de Taylor
2. Funções convexas e côncavas
3. Aproximações sucessivas e método de Newton
4. Exercícios

Capítulo 10. A Integral de Riemann

1. Revisão sobre sup e inf
2. Integral de Riemann
3. Propriedades da integral
4. Condições suficientes de integrabilidade
5. Exercícios

Capítulo 11. Cálculo com Integrais

1. Os teoremas clássicos do Cálculo Integral
2. A integral como limite de somas de Riemann
3. Logaritmos e exponenciais
4. Integrais impróprias
5. Exercícios

Capítulo 12. Sequências e Séries de Funções

1. Convergência simples e convergência uniforme
2. Propriedades da convergência uniforme
3. Séries de potências
4. Funções trigonométricas
5. Séries de Taylor
6. Exercícios

Capítulo 13. Sugestões e Respostas

Sugestões de Leitura

Índice

Autores

Elon Lages Lima

Elon Lages Lima foi Pesquisador Emérito do Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) e membro titular da Academia Brasileira de Ciências e da TWAS (Academy of Sciences for the Developing World). Foi também Doutor Honoris Causa pelas Universidades Federais do Amazonas e de Alagoas e pela Universidad Nacional de Ingenieria del Perú, Professor Honoris Causa das Universidades Federais do Ceará e da Bahia, da Universidade Estadual de Campinas, da Pontificia Universidad Católica del Perú e da Universidade de Brasília. Recebeu a Ordem do Mérito Científico na Classe Grã-Cruz, da Presidência da República e o Prêmio Anísio Teixeira, do MEC

É autor de vários livros de Topologia, Análise, Álgebra e Matemática Elementar, dois dos quais são ganhadores do Prêmio Jabuti.