22/08/2018

A angústia do matemático Ludwig Boltzmann - 2ª parte

Reprodução do blog do IMPA Ciência & Matemática, publicado em O Globo, e coordenado por Claudio Landim

Antonio Galves, Professor da Universidade de S.Paulo e coordenador do Centro de Pesquisa, Inovação e Difusão em Neuromatemática

Resumo da primeira parte

No final do século XIX, Boltzmann propôs derivar as leis da Termodinâmica a partir do estudo da evolução de sistemas de moléculas como as da água. Esse projeto inovador foi violentamente atacado pelas autoridades científicas da sua época. Os detratores de Boltzmann diziam que o projeto era logicamente incoerente, porque ele propunha derivar leis irreversíveis, como as da Termodinâmica, a partir do estudo de sistemas de moléculas que são reversíveis, por seguirem as leis da Mecânica. Um casal de jovens matemáticos, Paulo e Tatiana Ehrenfest entendeu a ideia central de Boltzmann. Eles iam mostrar ao mundo científico que reversibilidade e irreversibilidade podiam coexistir no mesmo sistema.

2a. Parte: O modelo de Ehrenfest

Paulo e Tatiana encontraram uma maneira muito simples de mostrar que não havia nenhuma impossibilidade lógica no projeto proposto por Boltzmann. Na verdade, reversibilidade e irreversibilidade são dois aspectos da mesma história. E eles iam mostrar isso através de um modelo matemático simples.

Esse modelo descreve de maneira esquemática um sistema composto de dois compartimentos iguais, um deles contendo um certo volume de gás, o outro estando vazio. Se os dois compartimentos forem conectados por um tubo, o gás fluirá de um compartimento para outro.

No modelo proposto por Paulo e Tatiana os dois recipientes são representados por duas urnas. Vamos chamá-las de urnas A e B. O gás, ou melhor o conjunto de moléculas que o constituem serão representados por um conjunto de bolas iguais e numeradas de 1 até um número fixado muito grande.

A evolução no tempo das posições das moléculas do gás será representada por uma sequência de sorteios de bolas da seguinte forma. Vamos imaginar que temos à nossa disposição uma roleta perfeitamente honesta dividida em espaços iguais numerados de 1 até o número total de bolas. Ou seja, se usarmos 100 bolas, a roleta terá 100 divisões iguais, numeradas de 1 até 100.

Usamos essa roleta para alterar ao longo do tempo as posições das bolas. Isso é feito da seguinte forma. Sorteamos um número usando a roleta. A bola cujo número foi sorteada é “candidata” a mudar de urna. Para decidir se a mudança de urna ocorrerá ou não, uma moeda honesta é lançada. Se sair cara, a bola cujo número havia sido sorteado na roleta muda de urna. Se a bola estava na urna A, ela muda para a urna B. Já se sair coroa, a bola cujo número foi sorteado permanecerá na urna em que estava. Fazemos isso sucessivamente.

A evolução das posições das bolas representará a evolução das moléculas do gás, passando de um outro para o outro recipiente. No início, todas as bolas estão na urna A. Representamos assim o fato que inicialmente um compartimento continha todo o gás e o outro estava vazio. Ao longo dos sorteios sucessivos da roleta e da moeda, as bolas irão mudando ou não de urna. Exatamente como ocorre com as moléculas do gás.

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