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26 de setembro de 2018, 10:47h

A crise dos fundamentos da matemática

 

Reprodução da coluna de Marcelo Viana, na Folha de S.Paulo

No início do século 20, a matemática atravessava uma crise grave. No século anterior, a disciplina tivera um desenvolvimento extraordinário, tornara-se mais poderosa e mais abstrata. Era necessário organizar e apoiar esse conhecimento em bases sólidas e garantir que não continha contradições.

Um bom modelo de organização já havia sido inventado na antiguidade, pelo matemático helenístico Euclides. Em seu tratado “Elementos”, formulou cinco afirmações que considerava intuitivamente evidentes —os axiomas— e mostrou como as demais afirmações da geometria plana podem ser deduzidas dessas por meio de raciocínios rigorosos.

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Os trabalhos de Gauss, Bolyai, Lobachevsky e Riemann, todos no século 19, questionaram a natureza dos axiomas de Euclides e levaram à descoberta das geometrias não-euclidianas.

Mas isso não pusera em causa a utilidade do método axiomático, apenas mostrara que axiomas não são verdadeiros ou falsos, em algum sentido físico, são apenas pontos de partida convenientes para desenvolver a teoria matemática.

Ainda no século 19, Dedekind e Peano mostraram que o método axiomático também pode ser aplicado à aritmética. Ao final desse século, Cantor desenvolveu a teoria dos conjuntos, que parecia ser a melhor fundação para toda a matemática. 

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