03/02/2021

Na Folha, Marcelo Viana fala sobre trissecção do ângulo

Imagem: Pixabay

Reprodução da coluna de Marcelo Viana, na Folha de S.Paulo

Os três problemas clássicos da geometria —duplicação do cubo, trissecção do ângulo e quadratura do círculo— atraíram a atenção dos grandes matemáticos da Grécia antiga e desafiaram gerações por mais de dois milênios, até serem resolvidos no século 19.

Não sabemos quando foram formulados pela primeira vez. Escritos do filósofo Proclus datados do século 5 a.C. já apontam soluções, mas os problemas são mais antigos. Talvez a principal novidade na formulação grega seja a regra de que devem ser resolvidos usando régua (não graduada) e compasso, ou seja, apenas retas e círculos.

Dado um ângulo qualquer, é fácil bissectá-lo (dividi-lo no meio): trace um círculo centrado no vértice do ângulo; considere os pontos onde esse círculo intersecta os lados do ângulo e trace dois círculos centrados nesses pontos; contanto que o compasso esteja suficientemente aberto, esses círculos se intersectam em dois pontos; a reta que passa por esses dois pontos divide o ângulo no meio.

O problema da trissecção do ângulo consiste em buscar uma construção desse tipo que divida o ângulo em três partes iguais. Alguns casos especiais são fáceis: por exemplo, não é difícil trissectar o ângulo reto (90 graus).

Os gregos antigos conheciam métodos para trissectar qualquer ângulo usando outras curvas, como cônicas ou espirais, e muitos outros foram descobertos ao longo dos séculos. Existem inclusive curvas chamadas trissectizes, concebidas para esse fim.

Mas a busca de um método geral de trissecção do ângulo usando apenas régua e compasso resistiu a todos os esforços até que o francês Pierre Wantzel (1814–1848) provou, em 1837, que tal método não pode existir.

Wantzel mostrou que um ângulo de medida A pode ser trissectado se e somente se o polinômio 4×3-3x-cos(A) tem uma propriedade chamada reducibilidade, a qual não vale para a maioria dos valores de A.

O trabalho de Wantzel é precursor e contemporâneo da teoria desenvolvida por seu jovem e talentoso (de trágico fim, morto em duelo) conterrâneo Évariste Galois (1811–1832), que só seria publicada postumamente em 1846.

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