28/04/2021

Marcelo Viana fala sobre números imaginários na Folha

Imagem: Pixabay

Reprodução da coluna de Marcelo Viana, na Folha de S.Paulo

“Artis Magnae” (A grande arte), publicada pelo italiano Gerolamo Cardano (1501–1576) em 1545, é considerada uma das três obras científicas mais importantes do Renascimento, ao lado de “De revolutionibus orbium coelestium” (Das revoluções das esferas celestes), de Nicolau Copérnico, e “De humani corporis fabrica” (Da organização do corpo humano), de Andreas Vesulius, ambas publicadas em 1543.

Entre outras coisas, Cardano discute a solução da equação cúbica especial x3+mx+n=0 descoberta algum tempo antes por seu compatriota Scipione del Ferro.

Já era sabido que a equação quadrática ax2+bx+c=0 pode ter duas soluções, uma só, ou nenhuma, dependendo do valor do “discriminante” b2-4ac. Se o discriminante é negativo, os métodos de resolução (a fórmula “de Baskhara”, por exemplo) passam por calcular raízes quadradas de números negativos, que na época era consideradas expressões sem sentido, e então a equação não tem solução.

A equação cúbica x3+mx+n=0 tem comportamento parecido, mas muito mais interessante. O seu discriminante é m2/4+n3/27 e quando ele é negativo a fórmula de del Ferro contém igualmente raízes quadradas de números negativos. Mas, nesse caso, pode haver até três soluções, que é o número máximo para uma equação de grau 3.

Como pode a fórmula conter expressões sem sentido mesmo quando há soluções legítimas?! Apesar de não entender, Cardano opinou que “devemos fazer as contas assim mesmo”, tratando tais expressões como se fossem realmente números. Mas ele não chegou a aplicar essa ideia à equação cúbica, nem a entender a sua utilidade.

Foi o também italiano Rafael Bombelli (1526–1572) quem criou a teoria dos chamados números imaginários. Em sua obra “L’algebra” (A álgebra), publicada (em italiano, e não latim, o que era uma grande novidade) em 1572, Bombelli chamou a raiz quadrada √-1 do número -1 de “mais de menos” e explicou como fazer operações com esse novo tipo de número (“mais de menos vezes mais de menos dá menos”).

Bombelli aplicou sua teoria à equação cúbica e explicou como, na situação que intrigara Cardano, é possível obter todas as três soluções “reais” da equação por meio da fórmula de del Ferro, usando números imaginários. Era um caso de os fins (resolver a equação) justificarem os meios, no caso, usar raízes quadradas de números negativos que, “para a maioria das pessoas, devem parecer uma trapaça”.

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