18/11/2020

Em live sobre simetria, Marcelo Viana fala do Teorema Mágico

Calçada da Praça do Rossio, em Lisboa: Foto: Wikimedia Commons

Quando o assunto é a relação da arte com a matemática, a proporção áurea costuma ser um dos temas mais comentados. Imagens disponíveis na internet mostram os retângulos que a representam projetados sobre construções como o Taj Mahal, na Índia, e a Catedral de Notre-Dame de Paris, na França, indicando que tais obras arquitetônicas teriam sido supostamente construídas respeitando a constante. Mas a matemática está presente na arte de formas muito mais sutis através da simetria, pontuou Marcelo Viana, diretor-geral do IMPA, em live transmitida no YouTube do instituto nesta terça-feira (17). Na palestra de divulgação, o matemático falou sobre o Teorema Mágico e sobre como as calçadas de Lisboa imprimem quase todos os tipos de simetria descritos pela matemática.

“A simetria é um dos princípios mais fundamentais do universo e da vida”, disse Viana, que em seguida mostrou o exemplo clássico do rosto da rainha Nefertiti, do Egito antigo, considerado um dos mais belos por causa da simetria quase perfeita que apresenta em relação ao eixo vertical. Além dos humanos, estrelas do mar e centopéias são outros seres vivos que apresentam esse conceito em sua forma.

O matemático destacou o importante papel da simetria para o estudo dos problemas do Universo, relembrando o Teorema de Emmy Noether, que provou que toda grandeza física conservativa corresponde a um grupo contínuo de simetrias das equações. “Por exemplo, se você tiver um sistema mecânico como um pêndulo, cujas equações não mudam no tempo, então esse sistema preserva energia. A simetria é o fato que as equações não mudam ao longo do tempo. A conservação da energia existe quando as leis deste sistema físico não mudam ao longo do tempo”, explicou o palestrante.

Apesar de haver várias definições para o termo simetria no dicionário, Viana destacou que a mais valiosa para os matemáticos é “a invariância sob a ação de uma ou mais transformações do espaço”. Os matemáticos William Thurston, ganhador da medalha Fields no ano de 1982, e John Conway, morto em abril deste ano, criaram uma das mais completas notações matemáticas para representar simetrias no plano e no espaço.

Essa notação utiliza os inteiros positivos 1, 2, 3, … com quatro símbolos especiais (o “espelho” *, o infinito ∞, o “milagre” X e o “espanto” O) para descrever as transformações que preservam a figura. Os padrões de simetria que incluem o símbolo infinito foram chamados “frisos”, porque têm forma de faixa, e os demais de “papéis de parede”.

Viana destacou a importância da descoberta do Teorema Mágico, que definiu, no século XX, que podemos encontrar exatamente 24 padrões de simetria em um plano: 17 papéis de parede e 7 frisos. “O mais fascinante sobre esse teorema é que todos os tipos de simetria que ele diz que existem podem ser encontrados em obras artísticas que são produzidas desde a antiguidade. Os artistas que construíram estes padrões o fizeram de forma intuitiva. Só no século XX, com o Teorema Mágico, a matemática veio determinar os limites absolutos dessa intuição”, comentou o diretor-geral do IMPA.

Para encontrar os padrões descritos pelo teorema, basta olharmos para os nossos pés. Viana explicou que o calçadão de Copacabana, um dos mais famosos do mundo, apresenta uma simetria que pode ser descritas como 22*. “Isso significa que há um eixo de simetria com dois centros de rotação com simetria de 180º.” Já a calçada paulista, formada por blocos brancos e pretos que aludem ao formato do Estado de São Paulo, pode ser descrita simetricamente como 2222.

“Se no Brasil temos uma grande riqueza de elementos simétricos em nossas calçadas, imagina em Portugal? De onde vieram os operários que trouxeram a tradição da pedra portuguesa na época da colonização”, indagou o matemático. Ele contou que em Lisboa existe um roteiro turístico criado por matemáticos que mapeia todos os tipos de simetrias encontrados nas calçadas da capital lusitana. “A conclusão espetacular à qual chegaram os colegas portugueses é que praticamente todos os tipos de simetria podem ser encontrados nas calçadas de Lisboa, que apresentam todos os sete tipos de frisos e 11 papéis de parede”, comentou.

Confira a palestra na íntegra: