24/10/2018

Conjectura abc causa discussão no reino da matemática

Peter Sholze segura a Medalha Fields

Reprodução da coluna de Marcelo Viana, na Folha de S.Paulo

Um dos problemas mais famosos e importantes da matemática se encontra numa situação estranha: a solução existe, mas ela é tão longa e abstrata que ninguém sabe dizer se está correta.

Não é incomum que problemas matemáticos tenham soluções difíceis. A prova da conjectura de Poincaré, de G. Perelman, em 2003, demorou alguns anos para ser entendida e aceita, e o mesmo aconteceu com a prova do teorema de Fermat, do britânico A. Wiles, em 1993. E a prova do teorema das quatro cores, que usa computador, até hoje não tem uma versão que possa ser entendida integralmente por um humano. Mas a situação atual da “conjectura abc” é ainda pior.

Considere números inteiros positivos a, b e c que não tenham fatores comuns e tais que a+b=c. Por exemplo, 8+25=33 (9+12=21 está excluído porque os três números são divisíveis por 3). Multiplique todos os fatores primos dos números a, b e c. No exemplo, eles são 2, 5, 3 e 11, e o produto é 330. A conjectura abc afirma que esse produto é sempre bem maior que o número c, exceto possivelmente num número finito de casos.

A conjectura foi mencionada pela primeira vez em 1985 pelo francês J. Oeseterlé, num caso particular que logo foi generalizado pelo britânico D. Masser. Alguns anos depois, o norte-americano N. Elkies observou que a solução dessa conjectura avançaria muitíssimo a teoria das equações com números inteiros, iniciada pelo matemático helenístico Diofanto no século 3. O alemão G. Faltings, que ganhou a Medalha Fields em 1986 por trabalhos nesta área, explica: “Se abc for verdade, não saberemos apenas quantas soluções uma equação tem, nós poderemos listá-las.”

O problema é que ninguém tinha ideia de como atacar o problema. Pelo menos até 30 de agosto de 2012, quando o japonês S. Mochizuki postou na internet quatro trabalhos (mais de 500 páginas!) que conteriam uma solução.

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