29/09/2021

Os mistérios da sequência de Fibonacci

Presente em vários elementos da natureza, a sequência de Fibonacci continua cercada de mistérios e fatos surpreendentes mais de oito séculos após a sua descoberta. A progressão está nas pétalas das folhas, na cauda do camaleão, em conchas de caramujos e até na estrutura de galáxias, por exemplo. Até hoje, os limites deste simples padrão numérico são desconhecidos e as aplicações continuam a ser investigadas.

Leonardo Pisano, conhecido como Leonardo Fibonacci, viveu entre 1170 e 1250. Em 1202, publicou sua maior obra, “Liber abaci”, ou o “Livro do Ábaco” em português, que reúne grande parte do conhecimento adquirido com matemáticos árabes e judeus, com destaque para o sistema decimal de numeração, utilizado até hoje.

Mas o mérito do livro vai além. Fibonacci relatou a sequência que, posteriormente, ganharia seu nome. O famoso padrão numérico, cuja progressão é sempre resultado da soma dos dois números anteriores (Fn = Fn-1 + Fn-2), foi ilustrada com um exercício: “Um homem colocou um casal de coelhos em um recinto fechado. Quantos casais serão produzidos em um ano, se supusermos que cada casal gera outro por mês a partir de seu segundo mês de vida?”. O número de casais segue a sequência F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5, F6 = 8, F7 = 13, F8 = 21, F9 = 34, F10 = 55, F11 = 89, F12 = 144, F13 = 233.

A sequência de Fibonacci chama atenção ainda pela relação com o chamado número de ouro. Se dividir um número pelo anterior o resultado será cada vez mais próximo de 1,618… (Fn / Fn-1 ≅ 1,618). Conhecido também como razão áurea, o número de ouro é representado na matemática pela letra grega φ (phi), e é visto frequentemente em várias áreas, seja na matemática, física ou química, como na arte, na arquitetura e no design, por exemplo. Na relação com a sequência de Fibonacci, quanto maiores os números escolhidos, mais próximo o resultado será do número de ouro.

Outras relações podem ser feitas com esse padrão numérico. Por exemplo, a soma de 10 números consecutivos da sequência é sempre igual a 11 vezes o sétimo número. Se somarmos os números de F4 a F13 (3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89 + 144 + 233), teremos como resultado 605, que é igual ao sétimo número (F10 = 55) multiplicado por 11.

Essa é apenas uma das propriedades da sequência de Fibonacci, que continua fascinando matemáticos até hoje. Mesmo com as dúvidas que ainda restam sobre a invenção do italiano, não restam dúvidas de que ele foi o maior matemático da Europa medieval, grande responsável pela popularização do sistema numérico utilizado que ainda é utilizado atualmente.

A BBC Brasil fez um vídeo sobre a história de Fibonacci, os mistérios da sequência e a relação com o número de ouro, que está disponível no canal do veículo no YouTube. Vale a pena conferir!