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26/01/2022

Viana na Folha: Resolvido o mistério do número 42

Edward Waring

Reprodução da coluna de Marcelo Viana na Folha de S.Paulo

O teorema de Waring-Hilbert, formulado por Edward Waring (1736–1798) em 1770 e provado por David Hilbert (1862–1943) em 1909, afirma —entre outras coisas— que todo inteiro positivo pode ser escrito como soma de nove cubos perfeitos. Isto é, nove números da forma a3 em que a é um inteiro positivo ou zero.

Em alguns casos, dá para usar menos cubos: por exemplo, 10 = 13+13+23. Mas certos inteiros realmente precisam de nove, por exemplo, 23 = 13+13+13+13+13+13+13+23+23. E se considerarmos também cubos de inteiros negativos? Por exemplo, então podemos escrever 23 usando apenas quatro cubos: 23 = (-1)3 + 23 + 23 + 23.

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Resulta que com negativos o problema se torna muito mais difícil. Nem sequer sabemos quais são os inteiros que podem ser escritos como a soma de três cubos, apesar de esta pergunta ter sido muito estudada desde os anos 1950, quando o algebrista Louis Mordell chamou a atenção para ela.

Mordell (1888–1972) pesquisava as equações diofantinas, e conseguiu avanços profundos na direção de provar o teorema de Fermat. Uma de suas ideias principais, a conjectura de Mordell, foi provada em 1983 pelo alemão Gerd Faltings, o qual foi distinguido com a medalha Fields —o maior prêmio da matemática—, em 1986 por esse feito.

Sabemos que para que um inteiro seja a soma de três cubos, o resto da sua divisão por 9 não pode ser 4 nem 5. Por exemplo, como o resto da divisão de 23 por 9 é igual a 5, não podem existir inteiros a, b e c tais que 23 = a3 + b3 + c3. O que não sabemos é a volta, ou seja, se todos os inteiros N cujo resto da divisão é diferente de 4 e 5 são somas de três cubos. 

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