14/06/2018

Na Matemática, problemas podem ser bons

Reprodução do blog do IMPA Ciência & Matemática, de O Globo, coordenado por Claudio Landim

Tatiana Roque, professora do Instituto de Matemática da UFRJ

Ter um problema é tido como algo ruim. Significa viver um impasse, passar por uma situação difícil. Na Matemática é o contrário. Ter um problema é o primeiro passo para uma pesquisa de sucesso. Sobretudo se for um bom problema, pois há problemas ruins também – aqueles que não levam a nada. Bom problema é o que gera frutos, que conduz à criação de proposições, conceitos e ferramentas que se tornarão úteis à pesquisa matemática.

Um exemplo é a invenção dos números irracionais. Lá pelo século 4 antes da nossa era, os matemáticos tinham um problema: como a diagonal do quadrado (e outros segmentos de reta análogos) pode ser medida?

Para entender a questão, precisamos lembrar que medir é comparar. Tomamos um segmento de tamanho fixo que denominamos “unidade de medida”. Em seguida, vemos quantas vezes este segmento cabe dentro de outro. O resultado é a medida deste outro segmento. Mas será que este processo sempre dá certo? Tomemos o caso da diagonal e de um lado do quadrado na figura. É possível subdividir o lado de modo a obter um segmento que caiba um número contável de vezes dentro da diagonal? Desafiando a intuição, a resposta é negativa. Procedimentos geométricos já o mostravam antes mesmo da época de Euclides, o geômetra grego mais conhecido, que escreveu seus “Elementos” no século 3 antes da nossa era.

Trata-se do problema da incomensurabilidade entre a diagonal e o lado do quadrado. O lado e a diagonal não são comensuráveis, isto é, não podem ser medidos um pelo outro: mesmo subdividindo-se o lado do quadrado em partes iguais a nosso bel prazer, isto é, em partes tão pequenas quanto queiramos, não encontraremos um segmento que caiba um número contável de vezes dentro da diagonal. A consequência é a inexistência de um número para medir a diagonal do quadrado dentro do universo dos números existentes na época, aqueles que são obtidos pela contagem e que chamamos hoje de “números naturais”.

Ao contrário de inúmeras lendas que dizem ter sido um escândalo a descoberta dos incomensuráveis, evidências históricas sugerem que, na época, os geômetras abraçaram o problema de modo produtivo. Os “Elementos” de Euclides testemunham isso, pois ali se encontram procedimentos geométricos sofisticados para trabalhar com grandezas geométricas enquanto tais, sem associá-las a números, ou seja, sem medir. Por exemplo, construir, usando régua (não graduada) e compasso, um quadrado cuja área seja igual a de um retângulo dado. Ou mostrar que, dado um triângulo retângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa equivale à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. Este último teorema é uma versão puramente geométrica do que conhecemos como teorema de Pitágoras (que dificilmente foi enunciado por Pitágoras).

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