IMPA - O Instituto de Matemática Pura e Aplicada

One of the main themes of the theory of transcendental numbers is determining the "exceptional set" of a given transcendental function f(z) (of one or several complex variables), that is set of those algebraic complex number such that the value f(z) is also algebraic. In this talk, after briefly introducing the theory of Shimura curves, we discuss the question about exceptional set of Heun functions and its connection with study of quaternionic modular forms on certain special class Shimura curves.

The link for the talk: meet.google.com/hzq-vads-ntx

Nesta palestra vamos dar um passeio nos trabalhos de G. Faltings, começando por sua demonstração de conjetura de Mordell em 1983 que lhe trouxe a medalha Fields. Uma boa parte de sua carreira foi elaborar o lado aritmético de um dicionário heurístico proposto por P. Deligne em 1970, que tem origem na teoria conjetural de motivos de Grothendieck. Isso inclui versão p-ádica de teoria de Hodge, domínios de períodos, correspondência de Simpson, etc. Várias propriedades aritméticas de variedades abelianas são outro foco da carreira dele que vamos abordar nesta palestra. Em 2026 ele ganhou o prêmio Abel por suas contribuições fundamentais em geometria aritmética.    

Seja $M$ uma coletânea hyperkahler, $b_2(M) \geq 6$ , e $D$ seu espaço de deformação, $I \in D$ uma estrutura complexa e $H_I$ a rede Hodge de $(M,I)$, ou seja, o conjunto de todas as classes de cohomologia inteiras do tipo $(1,1)$. Usando o teorema de Vinberg sobre redes geradas por reflexões, provamos que há apenas um número finito de classes de isomorfismo de redes de Hodge $H_I$ de grau $\geq 3$, de modo que $(M,I)$ seja projetivo e tenha um grupo finito de automorfismos birracionais. Usamos essa observação para mostrar que qualquer família não trivial de deformações projetivas de $M$ tem um conjunto denso de estruturas complexas com um grupo infinito de automorfismos birracionais. Este é um trabalho conjunto com Ekaterina Amerik e Andrey Soldatenkov.  

Let $f$ be a partially hyperbolic diffeomorphism preserving a splitting $E^s\oplus E^c\oplus E^u$, where the unstable bundle $E^u$ is one-dimensional. When $f$ is homogeneous, like the time-one map of the geodesic flow on a surface of constant negative curvature or a linear automorphism of the torus, the unstable foliation admits a natural parametrization that makes invariant measures with absolutely continuous conditionals (the so-called uGibbs measures) correspond exactly to invariant measures of this flow. How can this picture be generalized when $f$ is not homogeneous? In this talk, I will explain a construction of a suitable suspension flow of $f$ for which the unstable foliation becomes the orbit foliation of a new flow, called the unstable flow. Ergodic uGibbs measures are in one-to-one correspondence with measures simultaneously invariant under both flows and ergodic for the suspension. As an application, I will deduce the following measure rigidity statement: if $E^c$ is expanding and the bundle $E^s \oplus E^u$ is integrable, then any uGibbs measure whose entropy exceeds its unstable entropy is necessarily an SRB measure. This is joint work with Sébastien Alvarez, Sylvain Crovisier, Martin Leguil, and Davi Obata.

A classe de Weil-Petersson é uma classe notável de homeomorfismos do círculo que se encontra na fronteira de vários campos da matemática contemporânea, incluindo a teoria de Teichmueller, a teoria de Schramm-Loewner, a geometria hiperbólica e assim por diante. Neste trabalho, apresentamos uma nova perspectiva, estudando essa classe do ponto de vista da geometria anti-de Sitter. Mostramos que um homeomorfismo do círculo é Weil-Petersson se e somente se seu gráfico limitar uma superfície máxima completa, semelhante ao espaço, em AdS^{2,1} de área finita renormalizada.

Este é um trabalho conjunto com F. Diaf, A. Moriani, R. Smai e E. Trebeschi.

Mostramos que determinadas superfícies semi-aritméticas de Riemann têm um crescimento exponencial das multiplicidades médias em seu espectro de comprimento. Anteriormente, o crescimento exponencial das multiplicidades médias era conhecido apenas para superfícies aritméticas, embora os resultados experimentais que indicavam a possibilidade de exemplos não aritméticos já estivessem disponíveis. Explicarei alguns detalhes interessantes de nossa prova e indicarei algumas questões em aberto relacionadas. A palestra é baseada em um trabalho conjunto recente com Gregory Cosac, Cayo Dória e Gisele Teixeira Paula.