20/07/2022

Viana fala sobre empacotamento de esferas em coluna na Folha

Foto: Pexels

Reprodução da coluna de Marcelo Viana na Folha de S. Paulo

Pegue um grande número de moedas idênticas e coloque-as deitadas sobre uma mesa. Como organizá-las de tal modo que caiba o maior número possível? Testando, é fácil se convencer de que o melhor é o arranjo hexagonal, em que cada moeda toca 6 vizinhas. As abelhas descobriram isso milhões de anos atrás, e usam isso para construir favos com o máximo de mel que é possível armazenar na colmeia.

O arranjo hexagonal tem ocupação de 90% da área da mesa. Mas provar que não dá para conseguir mais não é fácil. Lagrange provou em 1773 que a configuração hexagonal é a melhor entre todos os arranjos regulares. Mas só em 1942 o húngaro László Tóth conseguiu estender a prova para arranjos quaisquer (“bagunçados”).

A questão do empacotamento de esferas é parecida: como armazenar bolas idênticas num recipiente de tal modo que caiba o maior número possível? Em 1611, o astrônomo Johann Kepler apontou que a disposição hexagonal por camadas, como os feirantes exibem as frutas em suas barracas, tem ocupação de 74% do volume, e conjecturou que esse seria o máximo possível. Em 1831, Gauss provou a conjectura de Kepler para os arranjos regulares, mas a extensão para arranjos quaisquer demorou quase 400 anos.

A primeira prova foi dada pelo norte-americano Thomas Hales em 1998, mas o trabalho era muito longo (250 páginas!) e continha uma quantidade enorme de cálculos que ninguém conseguiu conferir. A controvérsia só foi resolvida em 2017, quando Hales escreveu e rodou um algoritmo para verificar a prova automaticamente por computador.

Além das dimensões 2 (moedas) e 3 (bolas), os matemáticos também estudam o empacotamento de esferas em dimensões maiores. E não é apenas por curiosidade, também há aplicações práticas. Por exemplo, em teoria da informação, o estudo de códigos corretores de erros —que permitem comunicação mais robusta— conduz a problemas de empacotamento de esferas em dimensões muito elevadas.

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