21/06/2019

Perelman e a solução para um dos problemas do milênio

Grigori Perelman, em foto antiga; matemático russo é considerado tão brilhante quanto recluso

Reprodução da BBC

Há uma década, Grigori Perelman, um dos grandes cérebros do século 21, deu adeus à profissão e à vida pública.

Na época, ele já era mundialmente famoso por resolver um dos mais difíceis enigmas matemáticos do milênio, cuja origem remete ao século 18 e se materializa na antiga cidade prussiana de Königsberg (hoje Kaliningrado, na Rússia).

A cidade tinha sete pontes sobre o rio Pregel, para conectar não só os dois lados da cidade, mas também duas ilhotas dentro do curso do rio. Reza a lenda que as pessoas da época formularam um questionamento, que se converteu em um célebre problema:

Será possível sair de casa em uma das quatro regiões de Königsberg, cruzar todas as pontes uma única vez e voltar ao mesmo ponto de partida?

A solução não só é mais difícil do que parece, como levou à criação de novos ramos da matemática, incluindo a topologia.

Pontes de Königsberg / Creative Commons

Em 1735, o grande matemático Leonhard Euler deu a resposta: não era possível. Mas o mais curioso é que, na resolução do problema, deu um salto conceitual.

Euler se deu conta de que as distâncias entre as pontes eram irrelevantes. O que realmente importava era como as construções estavam conectadas entre si, o que faz com que a teoria não se limite unicamente à cidade de Königsberg, mas sim a todas as configurações topologicamente iguais.

Eis o início dos conceitos de topologia, que hoje embasam praticamente todos os trajetos de mapas de metrô do mundo, para comunicar claramente aos usuários o que eles necessitam saber: como chegar aonde querem ir.

Do dilema das pontes nasceu a topologia, usada em trajetos de metrô / Getty Images

Embora as origens da topologia remetam às pontes de Königsberg, foi só nas mãos do mais famoso e respeitado matemático do final do século 19, o francês Henri Poincaré, que o tema se converteu em uma nova e poderosa maneira de enxergar a forma.

A topologia

A principal ideia atrás da topologia é que, quando se estuda um objeto, o mais importante são as suas propriedades, e não o objeto em si. E, se dois objetos compartilham as mesmas propriedades, devem ser estudados, porque os resultados disso poderão ser escalonados a todos os objetos que compartilhem das mesmas propriedades – ou seja, os objetos homeoformos.

Algumas pessoas se referem a esse importante campo da matemática como “geometria flexível”, porque, segundo ele, duas formas são a mesma se for possível transformar uma em outra sem quebrá-la.

Então, por exemplo, topologicamente uma bola de futebol e uma bola de rúgbi são equivalentes, porque uma pode ser moldada para se transformar na outra.

Na topologia, uma bola de futebol e uma bola de rúgbi são equivalentes, porque uma pode ser moldada para se transformar na outra

É por isso que se brinca que um topologista não consegue distinguir entre uma xícara de café e uma rosquinha de donut.

É que, embora soe estranho, topologicamente uma xícara e o donut são iguais.

Um donut se converte em xícara (e vice-versa) sem ser quebrado / Science Photo Library

Mas, se é possível deformar um donut para transformá-lo em uma xícara e vice-versa, não há como deformar uma bola a ponto de transformá-la em um donut, porque não podemos criar o buraco em seu meio sem mudar as propriedades da esfera.

O problema

Poincaré chegou a conhecer todas as possíveis superfícies topológicas bidimensionais. Além disso, desenvolveu todas as formas possíveis nas quais poderia envolver esse universo bidimensional plano.

Mas o fato é que vivemos em um universo tridimensional. O que levou o matemático a se perguntar em 1904: quais são as formas possíveis que nosso Universo pode ter?

Ele morreu em 1912 sem conseguir encontrar as respostas. O problema se converteu na “conjectura (ou hipótese) de Poincaré” e ficou como legado para futuras gerações de matemáticos, que por décadas não conseguiram resolver o problema para superfícies 3D.

Henri Poincaré (1854-1912) levou o problema adiante, mas não conseguiu resolvê-lo para superfícies em 3D / Science Photo Library

Assim, a hipótese de Poincaré foi incluída na lista dos sete problemas matemáticos do milênio, cuja resolução seria premiada com US$ 1 milhão pelo Instituto Clay de Matemáticas de Massachusetts, nos EUA.

Até que, em 2002, o site de internet arXiv publicou a primeira de três partes de um artigo com o intrincado título “A fórmula de entropia para o fluxo de Ricci e suas aplicações geométricas”.

O texto tinha 39 páginas e era assinado por Grisha Perelman.

Pouco ortodoxo

Grigori “Grisha” Perelman vinha se debruçando sobre o tema em sua cidade natal, São Petersburgo, à qual havia regressado depois de viver alguns anos nos EUA. Segundo um colega, Perelman voltou porque percebeu que seu trabalho fluía melhor na Rússia.

Ele não era um desconhecido na comunidade matemática: em 1994, já havia provado a “conjectura da alma”, segundo a qual pode-se deduzir as propriedades de um objeto matemático a partir de pequenas regiões desses objetos, chamados alma.

Grigori Perelman resolveu o problema por conta própria, mas recusou qualquer tipo de reconhecimento por isso / Getty Images

Depois disso, ele recebeu ofertas de cargos em algumas das principais universidades do mundo, como Stanford e Princeton, mas preferiu tornar-se pesquisador do Instituto Steklov, em São Petersburgo, um cargo que pagava menos de US$ 100 por mês.

Em sua temporada nos EUA havia conseguido, disse, dinheiro suficiente para viver bem.

Mas também conseguira avançar em uma dúvida levantada por um matemático americano que ele admirava: Richard Hamilton.

Fluxos que não fluíam

Em 1982, Hamilton havia publicado um artigo sobre uma equação chamada “fluxo de Ricci”, com a qual se suspeitava ser possível comprovar a conjectura de Poincaré.

Mas a tarefa era extremamente técnica e sua execução, complicada.

Fluxo de Ricci, acima em 2D, foi usado por Perelman para encontrar suas respostas / CBM

Em 1993, Perelman havia aceitado uma bolsa de pesquisa na Universidade da Califórnia, em Berkeley, onde assistiu a várias conferências de Hamilton.

No final de uma delas, Hamilton explicou a Perelman os obstáculos que havia encontrado na tentativa de provar a conjectura; o russo respondeu que havia feito um estudo que poderia ajudá-lo nesses obstáculos. Hamilton, porém, não lhe deu muita atenção.

Dois anos mais tarde, Perelman voltou a escrever para Hamilton explicando suas ideias, mas o americano nunca respondeu.

Perelman acabou trabalhando sozinho, e em 2002 publicou na internet o resultado de seus esforços. Essa publicação acabou despertando um enorme interesse entre matemáticos.

A resolução

Embora o artigo sequer citasse Poincaré, quatro anos mais tarde emergiu o consenso de que Perelman havia, de fato, solucionado a conjectura.

E se quatro anos parecem ser um período longo, é bom lembrar que estamos falando da matemática.

À diferença de outros campos do conhecimento, em que as teorias sempre podem ser revisadas, a prova de um teorema é definitiva. No caso de Perelman, ao menos duas equipes de especialistas se debruçaram sobre seu artigo para confirmar que não havia brechas ou erros, e a partir disso produziram estudos de centenas de páginas (enquanto que o artigo original tinha meras 39 páginas).

Além disso, a proposta de Perelman era tão complexa que até especialistas tiveram dificuldade em entendê-la.

O silêncio do gênio

Depois de mais de um século de tentativas frustradas, a hipótese de um matemático brilhante havia sido comprovada por outro também genial, embora mais excêntrico.

Perelman recebeu nova chuva de ofertas – de prêmios, cargos, honras, pagamentos em dinheiro, convites para conferências e fundos de pesquisa -, as quais considerou, segundo relatos, profundamente ofensivas.

“A monetização do êxito é o máximo insulto à matemática”, afirmou.

Consequentemente, rejeitou até mesmo a medalha Fields, equivalente matemático a um prêmio Nobel, por “suas contribuições à geometria e suas ideias revolucionárias”; um prêmio da Sociedade Matemática Europeia e o milhão de dólares que o Instituto Clay queria entregá-lo por solucionar um dos problemas do milênio.

“Se a teoria está correta, não necessita de outro tipo de reconhecimento”, afirmou Perelman.

Ele logo deixou de falar com a imprensa, anunciou que pretendia abandonar a profissão e se aposentou, para viver com sua mãe como um semirrecluso em um modesto apartamento. Há relatos de que ele só sai de casa para comprar itens básicos ou para assistir à ópera e a concertos de música clássica.

“Não me interessa o dinheiro ou a fama. Não quero estar em exibição como um animal em um zoológico”, disse certa vez.

Alguns conhecidos afirmam que ele se interessa simplesmente por demonstrar teoremas, e não por ganhar prêmios.

No mundo científico, muitos lamentaram que ele tenha abandonado a matemática por completo. A não ser que, em algum momento, ele surpreenda a comunidade com alguma outra publicação brilhante na internet.