03/03/2021

Na Folha de S. Paulo, a bela fórmula de Euler

Imagem: Selo em memória aos 200 anos da morte de Euler, Domínio Público

Reprodução da coluna de Marcelo Viana, na Folha de S.Paulo

Leonhard Euler (1707 – 1783) escrevia sobre matemática, física, astronomia, mecânica, lógica, filosofia e música em latim, alemão e francês. Seus trabalhos foram publicados pelas academias das nações mais avançadas da época, especialmente na Suíça, Rússia, Prússia e França. Mais de um século depois que a Academia Suíça de Ciências iniciou a coletânea de suas obras, com 85 volumes já publicados, a tarefa ainda não terminou.

A sua descoberta mais conhecida do público, obtida por volta de 1740, é a fórmula que leva o seu nome: e^iπ+1=0. Essa belíssima relação usa os símbolos mais notáveis da matemática (π =3,1415…; a constante de Euler e=2,7182…; a unidade imaginária i=√-1; e os números 0 e 1, com os quais se constroem todos os outros) numa única igualdade que liga a aritmética, a álgebra, a geometria e a análise.

Em 1758, Euler observou que os números F de faces, A de arestas e V de vértices de um poliedro (sólido geométrico) convexo sempre satisfazem a igualdade F-A+V=2. Por exemplo, no cubo F=6, A = 12 e V=8, e vemos que 6-12+8=2. Provas alternativas deste fato foram dadas por matemáticos do calibre de Legendre e Cauchy, que também apontaram que a igualdade pode falhar se o poliedro não for convexo.

Apesar desses avanços, a descoberta de Euler continuou sendo pouco mais do que uma curiosidade até a década de 1890, quando Poincaré revelou o seu profundo significado e a tornou a base de uma nova disciplina matemática: a topologia algébrica.

Em 1760, Euler obteve um importante critério geral de exatidão para equações diferenciais de qualquer ordem. Submeteu o trabalho à Academia de Ciências de São Petersburgo, mas a publicação só ocorreu seis anos depois. No meio tempo, Euler mencionou a descoberta, sem prova, em sua correspondência com D’Alembert, o qual informou Lagrange, Condorcet e outros. Em 1765, o jovem Condorcet publicou uma prova, sem mencionar Euler.

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