Tópicos em Teoria da Aproximação

Problemas de existência e unicidade da melhor aproximação em espaços norma dos. Aproximação por polinômios generalizados. Sistemas de Haar; Caracterização da aproximação de funções contínuas por polinômios algébricos e trigonométricos. Teoremas de Chebyshev sobre a alternância e generalizações. Desigualdades polinomiais de Markov e de Bernstein; Aproximação em espaços de Hilbert. Séries de Fourier. Densidade do sistema trigonométrico. Somas parciais das séries de Fourier e o núcleo de Dirichlet. Principio da localização. Critérios de Dini-Lipschitz e de Dirichlet-Jordan: Existência de funções contínuas com series de Fourier divergentes em ponto. Comportamento assintótico das somas parciais das séries de Fourier; Módulos de continuidade. Caracterização de classes de funções; Somas de Cesàro. Teorema de Fejér. Núcleos somáveis. Convergência das somas de Cesàro em L. Representação de Fejér-Riesz de polinômios trigonométricos não-negativos. Funções inteiras do tipo exponencial não-negativas; Teoremas diretos para aproximação por polinômios algébricos e trigonométricos. Teorema de Jackson. Aproximação através de operadores lineares positivos. Teoremas de Korovkin. Polinômios de Bernstein e segundo núcleo de Fejér. Formas gerais do Teorema de Jackson: Teoremas inversos. Ordem da melhor aproximação por polinômios algébricos e trigonométricos. Caracterização construtiva de subclasses de funções contínuas em compacto. Analiticidade e melhores aproximações: Ordem de decrescimento das melhores aproximações. Caracterização construtiva das funções completamente monótonas: Interpolação polinomial. A função de Lebesgue. Aproximação por polinômios interpeladores de Hemite-Fejér: Aproximação por funcionais lineares. Representação dos erros através de convoluções. Fórmulas de quadratura. Critério de Gauss e ortogonalidade. Convergência das fórmulas de quadratura; Teorema de Pólya. Quadraturas ótimas em classes de Sobolev e monosplines: Teorema de Wiener sobre a densidade das translações de uma função de L (R). Teoremas gerais de Wiener do tipo Tauberiano.: A classe das funções inteiras da classe de Laguerre-Pólya. Sequências multiplicadoras. Polinômios de Jensen. Transformadas de Fourier que pertencem à classe de Laguerre-Pólya.

 Referências:
[1] E. W. Cheney, Introduction to Approximation Theory, AMS Chelsea Publishing, 2nd ed., 1982.
[2] Y. Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis, John Wiley & Sons, 1968.
[3] A. F. Timan, Theory of Approximation of Functions of a Real Variable, Dover, 1994.
[4] A. Zygmund, Trigonometric Series, 3rd ed., 2002.

* Ementa básica. O professor tem autonomia para efetuar qualquer alteração.