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7 de fevereiro de 2019, 15:56h

Quando Matemática e Física discordam

 

Reprodução do blog do IMPA Ciência & Matemática, de O Globo, coordenado por Claudio Landim

Roberto Imbuzeiro Oliveira  – Pesquisador titular do IMPA

Até na Matemática há o que não se pode medir. Alguém poderia dizer que volume, temperatura e comprimento se medem, mas não amor, amizade e afetos

Você me dá uma bola maciça de ouro e eu entro com ela no meu laboratório secreto. Depois de alguns minutos, saio com duas bolas aparentemente idênticas à que você me deu.

Você pergunta de onde tirei a segunda bola. Digo que fiz as duas bolas a partir daquela com que entrei. Tudo que fiz foi cortar a bola original em alguns pedaços e colá-los de maneira diferente, sem tirar, botar, ou deformar qualquer coisa.

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— Mas como assim? – Você pergunta. – Não tem como você fazer duas bolas a partir de uma! Você ia precisar do dobro de ouro! Dá essas bolas aqui!

Você toma as bolas e as examina com todo cuidado. Constata que as duas são maciças e de ouro, com a mesma densidade que a original. Seu exame não revela qualquer problema, apenas rachaduras correspondendo aos cortes que eu disse ter feito. Você entra em meu laboratório e constata que não há qualquer sinal de fraude da minha parte. O que pode ter acontecido?

A Física declara categoricamente que esta historinha é impossível. Acontece que, de certa forma, a Matemática discorda da Física. No mundo matemático, essa “criação de matéria” pode acontecer, mas há sutilezas por trás dela. Para entendê-las, vamos começar de outro ponto: o que significa medir para um matemático?

Na virada do século 19 para o 20, ficou claro para os matemáticos que o Cálculo de Newton, Leibniz e seus sucessores precisava ser recauchutado. Era necessário torná-lo mais preciso e expandir suas capacidades.

Dentro do Cálculo, o conceito de integral é um dos mais importantes. Acontece que a integral é “a área ou volume debaixo do gráfico da função”. Por isso, para melhorar a integral, foi necessário criar uma nova Teoria da Medida e refundamentar conceitos como comprimento, área e volume. Henri Lebesgue foi o principal matemático por trás deste avanço.

A Teoria da Medida de Lebesgue é complicada, mas tem a ver com nossa noção de medida do dia-a-dia. Como no senso comum, começamos com a constatação de que, para medir, precisamos de um padrão. Por exemplo, o padrão costumeiro para medir volumes – a unidade do litro – é o volume de um cubo com lados de dez centímetros. Do mesmo modo, para definir volumes, Lebesgue parte de um cubo-padrão, considerado a “unidade de volume”.

Em segundo lugar, medir é sempre comparar com o padrão. Por exemplo, se eu digo que um balde tem três litros de volume, é porque o volume do balde corresponde ao de três cubos-padrão. Da mesma forma, os volumes na teoria de Lebesgue são calculados a partir do cubo-padrão, como na figura abaixo.

Um terceiro ponto é que a medida de um objeto não muda quando o mexemos ou deslocamos. Se eu tomo o balde acima, o levo pro Japão e o viro de cabeça para baixo, ele continua tendo os mesmos três litros de volume – a não ser, é claro, que ele saia deformado da minha brincadeira. De forma análoga, a medida de volume segundo Lebesgue não se altera quando um corpo é deslocado no espaço.

A última propriedade importante é que quando um objeto é feito de duas ou mais partes, a soma das medidas das partes é a medida do todo. É mais fácil explicar este princípio com a figura abaixo. Nela, o cubo maior é feito de partes, que são cubos menores. Nossa regra é que a soma dos volumes dos cubinhos tem de ser o volume do cubo maior. Em particular, segue disso que, quando um cubo maior tem o dobro do tamanho de lado de um menor, o volume do maior é oito vezes o do menor. Você consegue deduzir isso?

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