Geometria Diferencial

Pré-requisitos: Análise em variedades (variedades e tensores), Teorema fundamental das equações diferenciais ordinárias (podendo ser cursada em paralelo).

Curvas e superfícies no R3. Primeira forma fundamental, área. Aplicação normal de Gauss; direções principais, curvatura Gaussiana e curvatura média, linhas de curvatura. Exemplos clássicos de superfícies. Geometria intrínseca: métrica e derivada covariante, o teorema Egregium; curvatura geodésica; equações das geodésicas, cálculo de geodésicas em superfícies. O teorema de Gauss-Bonnet. Rigidez da esfera em R3 e Teorema de Alexandrov. Fibrados, fibrados vetoriais e fibrados principais.
Conexões em fibrados. Mapas de fibrados, pull-back. Subfibrados e Teorema de Frobenius. Teoria de Chern-Weil. Teorema de Gauss-Bonnet em dimensões superiores. Outros tópicos.

Referências:
CARMO, M. Differential Geometry of Curves and Surfaces. Englewood Cliffs, Prentice-Hall, 1976.
DUPONT, J. – Fiber Bundles in Gauge Theory, Arhus Universitet, 2003.
DUPONT, J. – Curvature and Characteristic Classes, Springer, 1978.
KOBAYASHI, S. e NOMIZU, K. – Foundations of Differential Geometry, Wiley  – Interscience, 1996.
MADSEN, H. – From Calculus to Cohomology: De Rham Cohomology and Characteristic Classes, Cambridge University Press, 1997.
MONTIEL, S. e ROS, A. – Curves and Surfaces, Graduate Studies in Mathematics, vol. 69, AMS, 2005.
POOR, W. A. – Differential Geometric Structures, Dover Publications; Dover Ed edition, 2007.
SPIVAK, M.
A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, vol.3, Berkeley, Publish or Perish, 1979.