Uncertainty Principles in Analysis and PDE
O princípio da incerteza de Heisenberg clássico diz, em sua interpretação matemática, que uma função não pode estar simultaneamente localizada no espaço e em frequência, sem forçar que esta função seja nula. Tal princípio evidencia uma propriedade fundamental de vários operadores em análise: Localização espacial implica, em particular, dispersão do operador.
Neste minicurso, iremos investigar este princípio clássico em conexão com resultados mais recentes, como versões quantitativas do mesmo, aplicações em equações diferenciais parciais, fórmulas de interpolação e unicidade de Fourier. Em particular, um dos objetivos deste minicurso é conectar princípios de incerteza de Fourier com problemas geométricos, com o problema de empacotamento de esferas no espaço euclideano, recentemente resolvido por Maryna Viazovska em dimensão 8 e 24 [2,1].
- Aula 1 – Introdução ao princípio de Heisenberg clássico; Teorema de Paley-Wiener; Teorema de Benedicks e Teorema de Amrein-Berthier; Discussão sobre o princípio de incerteza de Nazarov.
- Aula 2 – Funções analíticas e princípio de Pharagmén-Lindelof; Aplicações: princípio da incerteza de Hardy optimal.
- Aula 3 – Prova alternativa do princípio da incerteza de Hardy e aplicações a equações diferenciais parciais; conexão com problemas de continuação única.
- Aula 4 – Princípios de incerteza para raízes; conexões com teoria dos números e o problema de empacotamento de esferas; avanços recentes.
- Aula 5 – Fórmulas de interpolação e unicidade de Fourier, Teorema de Interpolação de Radchenko-Viazovska.
- Aula 6 – Unicidade de Fourier para conjuntos de potências; perturbação de fórmulas de interpolação; possíveis generalizações e problemas em aberto.
Referências:
H. COHN, A., KUMAR, S. D. MILLER., D. RADCHENKO and M. VIAZOVSKA. – The sphere packing problem in dimension 24. Annals of Mathematics, 185 (3): 1017-1033, 2017.
M.S. VIAZOVSKA. – The sphere packing problem in dimension 8. Annals of Mathematics, 185 (3): 991-1015, 2017.
