Introdução à Teoria Geométrica de Integração Motívica

O conceito de integração motívica foi introduzido por Kontsevich [6] para mostrar (elegantemente) que as variedades Calabi-Yau birracionalmente equivalentes (isto é, variedades algébricas suaves, compactas e complexas com divisor zero canônico) têm os mesmos números de Hodge. Isso generalizou um resultado de Barytev sobre os números de Betti, que usavam uma maquinaria mais complicada, por exemplo as conjecturas de Weil [1]. Kontsevich construiu uma medida motívica no espaço de arcos de uma variedade complexa (passando de “p-ádica” para t-ádica), assumindo valores no invariante universal de variedades: o anel Grothendieck de variedades algébricas. Toda uma teoria do assunto foi posteriormente desenvolvida por Denef e Loeser em [3], [4] e [5].
O principal objetivo deste minicurso e fornecer uma introdução aos conceitos básicos e ferramentas sobre integração motívica e suas aplicações relacionadas
às funs zeta de singularidades, fornecendo exemplos concretos.

Programa:
1. Alguns problemas de geometria aritmética, integração p-ádica.
2. A função zeta p-ádica de Igusa de uma singularidade.
3. Espaços de arco e jatos. Conjuntos construtíveis.
4. O anel de variedades Grothendieck.
5. Medida motívica.
6. Integração motívica. Mudança de variáveis. Prova de Kontsevich.
7. Teorema do número Hodge de variedades Calabi-Yau.
8. Aplicação em singularidades e funções zeta motívicas.
9. O caso real: anel de Grothendieck de conjuntos semi algébricos simétricos de arco.
10. O polinômio virtual de Poincaré.
11. As funções zeta como invariantes para germes de funções Nash equivalentes a arco analítico.

Referências
Victor V. Batyrev. Birational Calabi-Yau n-folds have equal Betti numbers. In New trends in algebraic geometry (Warwick, 1996), volume 264 of London Math. Soc. Lecture Note Ser., pages 1–11. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1999.
Alastair Craw. An introduction to motivic integration. In Strings and geometry, volume 3 of Clay Math. Proc., pages 203–225. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2004.
Jan Denef and Fran¸cois Loeser, Motivic Igusa zeta functions, J. Algebraic Geom. 7 (1998), no. 3, 505–537.
Germs of arcs on singular algebraic varieties and motivic integration, Invent. Math. 135 (1999), no. 1, 201–232.
Motivic integration, quotient singularities and the McKay correspondence, Com- positio Math. 131 (2002), no. 3, 267–290.
Maxim Kontsevich. Lecture at Orsay. December 7, 1995.
Eduard Looijenga. Motivic measures. Ast´erisque, (276):267–297, 2002. S´eminaire Bour- baki, Vol. 1999/2000.
W. Veys. Arc spaces, motivic integration and stringy invariants. In Singularity theory and its applications, volume 43 of Adv. Stud. Pure Math., pages 529–572. Math. Soc. Japan, Tokyo, 2006.
Viu-Sos. An introduction to p-adic and motivic integration, zeta functions and new stringy invariants of singularities. Lecture Notes, available at http://jviusos.perso. univ-pau.fr/resources/motivic_integration.pdf, 2018.