Hyperbolic Polynomials, Determinantal Representations and Algebraic Complexity

1 Plano do Mini-Curso

Para o mini-curso, eu planejo cinco aulas, estruturadas com o objetivo de de definir hyperbolic polynomials, de definite determinantal representations e complexidade algébrica aos participantes. Após de definir essas três áreas, eu planejo expôr as conexões entre elas, com o foco em resultados recentes relacionados com a generalized Lax conjecture e a complexidade de representar certos spectrahedral cones como Linear Matrix Inequalities. As aulas envolvendo resultados recentes serão baseadas nos artigos [LPR05,HV07,Bra11,Ami19,Oli19].

As aulas serão divididas da seguinte forma (Fevereiro: 10, 12, 14, 17 e 19):
1.Introdução aos hyperbolic polynomials – origens, relevância e aplicações em outras áreas (combinatória, otimização).
2.Definições básicas e fundamentais de Complexidade Algébrica, origens e problemas fundamentais em aberto na área.
3.Definite Determinantal representations: definições básicas, relevância em Control Theory e Otimização, e conexões com complexidade algébrica e hyperbolic polynomials. Nessa aula eu apresentarei a conjectura de Lax, e suas propostas generalizações.
4.Outline da demonstração da conjectura de Lax [LPR05,HV07], assim como refutações de propostas generalizações [Bra11].
5.Outline da demonstração de spectralhedrabilidade dos cones hiperbólicos de polinomios especiais [Ami19] e complexidade algébrica das representações mínimas de tais cones [Oli19].
Essas aulas serão de nível elementar, com pré-requisitos básicos somente de cálculo em várias variáveis e álgebra linear.

References
[Ami19] Nima Amini. Spectrahedrality of hyperbolicity cones of multivariate matching polynomials. Journal of Algebraic Combinatorics, pages 1{26, 2019.
[Bra11] Petter Brandén. Obstructions to determinantal representability. Advances in Mathematics, 226(2):1202{1212, 2011. 
[HV07] J. William Helton and Victor Vinnikov. Linear matrix inequality representation of sets. Communications on Pure and Applied Mathematics, 60(5):654{674, 2007.
[LPR05 ]Adrian Lewis, Pablo Parrilo, and Motakuri Ramana. The lax conjecture is true. Proceedings of the American Mathematical Society, 133(9):2495{2499, 2005.
[Oli19] Rafael Oliveira. Complexity of spectrahedral representation of explicit hyperbolicity cones. In preparation, 2019.