Hessianos e Propriedades de Lefschetz em Álgebra, Geometria e Combinatória
Esse minicurso tem como objetivo apresentar resultados clássicos e recentes sobre Hipersuperfícies com Hessiano nulo e suas conexões com as propriedades de Lefschetz. O estudo de Hipersuperfícies de hessiano nulo é um problema clássico relacionado com as variedades desenvolvíveis e está ainda em aberto em dimensão alta. As propriedades de Lefschetz são uma abstração algébrica inspirada no Teorema forte de Lefschetz sobre a cohomologia das variedades projetivas lisas. Recentemente tem sido formuladas variações do Teorema forte de Lefschetz em diferentes categorias, incluindo Variedades Kahler, Matroides, Grupos de Coxeter, Politopos, dentre outras. Do ponto de vista algébrico as propriedades de Lefschetz são formuladas para álgebras graduadas Artinianas que satisfazem a dualidade de Poincaré. Recentemente foram introduzidos novos tipos de Hessianos (de ordem superior e mista) e mostrado que eles controlam as propriedades de Lefschetz em geral.
Público alvo: Estudantes de mestrado e doutorado da área de Álgebra.
Duração e horário: 7 aulas de 2 horas dias 15, 17, 22, 24, 29, 31 de janeiro e 05 de fevereiro, 15h-17h, sala 347.
Conteúdo.
Aula 1: Hessianos e curvatura.
Hessianos, curvatura, mapa polar e mapa de Gauss.
Aula 2: Hipersuperfícies com hessiano nulo.
Um passeio pela teoria de Gordan-Noether e novas hipersuperfícies com Hessiano nulo.
Aula 3: Álgebras artinianas Gorenstein.
Dualidade de Macaulay-Matlis, Dualidade de Poincaré, Vetor de Hilbert e as propriededes de Lefschetz.
Aula 4: Os critérios Hessianos.
Hessianos de ordem superior, critério hessiano para SLP, hessianos mistos e critério hessiano para WLP.
Aula 5: Gradientes superiores e sua geometria.
Gradienters superiores, mapas polares de ordem superior e aplicações.
Aula 6: Idealizações e combinatória.
Idealização de Nagata, complexos simpliciais e propriedades de Lefschetz para AG álgebras presentadas por quádricas.
Aula 7 Tipos de Jordan.
Decomposição de Jordan, partições, aplicações para WLP e SLP, diagrames de Ferrer e os diagramas de string.
