Análise Harmônica

Pré-requisito: Teoria Espectral

Transformada de Fourier:  Teoria básica L1 da transformada de Fourier; a teoria L2  e o teorema de Plancherel; a classe de distribuições temperadas.  Noções fundamentais da teoria de variáveis reais: a função maximal; comportamento próximo à pontos gerais de conjuntos mensuráveis; decomposição em cubos de conjuntos abertos em Rn; um teorema de interpolação para Lp; Interpolação de operadores: o teorema de convexidade de M. Riesz e interpolação de operadores em espaços Lp; o teorema de interpolação de Marcinkiewicz; espaços L(p,q); interpolação de famílias analíticas de operadores.  Integrais singulares: a transformada de Hilbert; operadores integrais singulares com núcleo ímpar; operadores integrais singulares com núcleo par; operadores integrais singulares que comutam com dilatações; análogos à valores vetoriais.  Transformadas de Riesz: integrais de Poisson. Esféricos harmônicos: as transformadas de Riesz; integrais de Poisson e aproximações da identidade; transformadas de Riesz  de ordens mais altas e esféricos harmônicos.  Séries de Fourier múltiplas: propriedades elementares; a fórmula da somação de Poisson; transformações multiplicadoras. A teoria de Littlewood-Paley e multiplicadores: a função g de Littlewood-Paley; a função g (lâmbida); multiplicadores; aplicação dos operadores de somas parciais; a decomposição diádica; o teorema de multiplicador de Marcinkiewicz.  Espaços de Hardy: caracterização maximal de Hp; decomposição atômica de Hp; integrais singulares. Hp e BMO: o espaço de funções de oscilação média limitada; a função “sharp”; uma abordagem elementar e uma versão diádica; outras propriedades de BMO; um teorema de interpolação.

Referências:
DUOANDIKOETXEA, J.  – Fourier Analysis. Graduate Studies in Mathematics, 29, AMS, Providence, RI 2001.
STEIN, E. – Harmonic Analysis”, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1993.
STEIN, E. – Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1970.
STEIN, E., WEISS, G. – Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1971.