Análise Harmônica

Pré-requisito: Teoria Espectral

Transformada de Fourier:  Teoria básica L¹ da transformada de Fourier; a teoria L²  e o teorema de Plancherel; a classe de distribuições temperadas.  Noções fundamentais da teoria de variáveis reais: a função maximal; comportamento próximo a pontos gerais de conjuntos mensuráveis; decomposição em cubos de conjuntos abertos em Rⁿ; um teorema de interpolação para L^p; Interpolação de operadores: o teorema de convexidade de M. Riesz e interpolação de operadores em espaços L^p; o teorema de interpolação de Marcinkiewicz; espaços L(p,q); interpolação de famílias analíticas de operadores.  Integrais singulares: a transformada de Hilbert; operadores integrais singulares com núcleo ímpar; operadores integrais singulares com núcleo par; operadores integrais singulares que comutam com dilatações; análogos a valores vetoriais.  Transformadas de Riesz: integrais de Poisson. Esféricos harmônicos: as transformadas de Riesz; integrais de Poisson e aproximações da identidade; transformadas de Riesz  de ordens mais altas e esféricos harmônicos.  Séries de Fourier múltiplas: propriedades elementares; a fórmula da somação de Poisson; transformações multiplicadoras. A teoria de Littlewood-Paley e multiplicadores: a função g de Littlewood-Paley; a função g (lâmbida); multiplicadores; aplicação dos operadores de somas parciais; a decomposição diádica; o teorema de multiplicador de Marcinkiewicz.  Espaços de Hardy: caracterização maximal de H^p; decomposição atômica de H^p; integrais singulares. H^p e BMO: o espaço de funções de oscilação média limitada; a função “sharp”; uma abordagem elementar e uma versão diádica; outras propriedades de BMO; um teorema de interpolação.