Álgebra de Vértices

O objetivo deste curso será explicar uma das múltiplas conexões entre a teoria de representações de álgebras de Lie de dimensão infinita (e mais geralmente álgebras de vértices) e a geometria de espaços de moduli (de curvas algébricas, fibrados principais, etc.). Seguiremos principalmente [2,3] e daremos atenção especial ao caso de curvas elíticas onde podemos ver a teoria abstrata de maneira mais concreta em termos de álgebra linear seguindo [4].

Os tópicos incluirão:

1) Estrutura de álgebras de vértices. Definição e exemplos. A álgebra de Virasoro e pesos conformes. Álgebras de vértices afins e álgebras de Kac-Moody. Álgebras de Lie e de Poisson associadas a álgebras de vértices.

2)Teoria de representações de álgebras de vértices. Definição de módulo e exemplos. Relação com teoria de Lie. Álgebra de Zhu. Álgebras de retículos. Álgebras de Vértices racionais. Modularidade dos caracteres: O teorema de Zhu.

3) Feixes em curvas algébricas associados a álgebras de vértices. Formulação independente das coordenadas. Correladores e funções de n-pontos. Feixes de álgebras de Lie e blocos conformes.

4) Feixes em espaços de moduli ligados a álgebras de vértices. Blocos conformes para famílias de curvas. O fibrado determinante em Mg e a conexão canónica. Inserções múltiplas de pontos. Torcer por fibrados principais e a conexão de KZ em BunG.

5) O caso de gênus 0 e 1. Formas modulares e a condição de cofinitude C_2. ODE correspondente a funções de traço. Convergência e modularidade de caracteres.

Referências:
BEILINSON, A.; DRINFELD, V. – Chiral algebras. Number 51,Colloquium Publications. AMS, 2004. [1]
FRENKEL, E.; BEN-ZVI, D. – Vertex algebras and algebraic curves. Number 88, Mathematical surveis and monographs. AMS, 2001. [2]
KAC, V. – Vertex algebras for beginners. Volume 10. University lecture series. AMS 1996. [3]
ZHU, Y. – Modular invariance of characters of vertex operator algebras. J. Amer. Math. Soc. 9(1) 237–302, 1996. [4]