22º CBM - Palestras de Divulgação

Têm por finalidade estimular o desenvolvimento de várias das áreas de pesquisa matemática no país através da exposição aos participantes do Colóquio, especialmente os jovens, de aspectos atraentes destas áreas, feitas por especialistas de destaque.

Comutatividade Assintótica de Matrizes

Ruy Exel – Univ. Fed. de Santa Catarina (Análise)

Abstract:

Sejam A e B matrizes n × n sobre os complexos, tais que AB e BA estão próximas entre si. Será que existem matrizes A’ e B’, respectivamente próximas de A e B, tais que A’B’ = B’A’ ? Através desta questão elementar sobre matrizes pretendo ilustrar as inúmeras conexões entre Álgebra, Análise e Topologia que se manifestam sob a égide da teoria das C*-álgebras.

 

Da teoria combinatória dos números à busca na Internet

Yoshiharu Kohayakawa – IME/USP (Combinatória)

Abstract:

Erdös e Turán conjecturaram em 1936 que todo conjunto de inteiros positivos com densidade superior assintótica positiva contém progressões aritméticas arbitrariamente longas. A história em torno desta conjectura é interessante: Erdös ofereceu 1000 dólares por uma solução, em 1953 Roth resolveu o primeiro caso não-trivial (provando que tais conjuntos contêm progressões de três elementos), Szemerédi resolveu o próximo caso em 1969 e, seis anos mais tarde, ele provou a conjectura em sua forma genérica (recebendo assim os 1000 dólares de Erdös). A seguir, Fürstenberg e colaboradores demonstraram o poder da teoria ergódica neste campo, provando o teorema de Szemerédi e generalizações através de seus métodos. Mais recentemente, Gowers anunciou sua prova, que faz uma mescla de argumentos combinatórios (como o teorema de Freiman) e métodos de análise harmônica. Após uma discussão elementar sobre a conjectura de Erdös e Turán, discutiremos um lema importante usado na demonstração original de Szemerédi, hoje conhecido como o Lema de Regularidade. Tal lema mostrou-se fundamental na teoria assintótica dos grafos. Para a surpresa de muitos, uma versão deste lema está sendo usada hoje por Frieze e Kannan para o desenvolvimento de uma ferramenta de classificação de informações extraídas da Internet.

Equilíbrio estratégico e algumas aplicações

Aloisio Araujo – IMPA (Economia Matemática)

Abstract:

Vamos mostrar como o Teorema do Ponto Fixo pode ser utilizado para obtenção do equilíbrio tanto no modelo quando os agentes econômicos são passivos (Arrow/Debreu) quanto no caso em que os agentes agem estrategicamente (equilíbro de Nash). Duas aplicações recentes desses modelos serão brevemente discutidas: o caso de finanças e o caso de regulação.

 

Revendo o Atrator Caótico de Lorenz : Novidades

Maria José Pacífico – UFRJ (Sistemas Dinâmicos)

Abstract:

O resumo a seguir é baseado no artigo de divulgação “What’s new on the Lorenz’ chaotic attractor” , de M. Viana, a aparecer no Mathematical Intelligence.

Em 1963, o metereologista Lorenz [L] propôs o sistema de equações abaixo para modelar fenômenos ligados à previsão do tempo:

 

onde são parâmetros reais. Experimentos numéricos feitos por Lorenz ( para ) sugerem a existência, de maneira robusta, de um atrator estranho contendo um ponto de equilíbrio, a saber (0,0,0), para o qual tendem as trajetórias positivas de todos os pontos numa vizinhança da origem. Baseado em seus experimentos, Lorenz chegou à conclusão que, apesar do sistema ser determinístico, era impossível prever com precisão o tempo no futuro baseado em informações no presente: soluções com condições iniciais muito próximas geravam respostas completamente diferentes no futuro (o que hoje é chamado “sensibilidade em relação às condições iniciais”). Ele verificou também que a origem é robustamente acumulada por trajetórias periódicas. Isto é, para quaisquer parâmetors perto daqueles indicados acima, a origem é um ponto de equilíbrio acumulada por órbitas periódicas . Ele detetou, numéricamente, o que hoje em dia é denominado um atrator estranho.

Apesar das equações de (1) serem polinomiais, e de expressão simples, parecia que seria impossível comprovar as predições de Lorenz. De fato, a presença do ponto de equilíbrio complica demasiado o tratamento numérico de (1): soluções que passam perto do equilíbrio diminuem drasticamente de velocidade, o que significa que um número muito grande de passos de integração são necessários, o que por sua vez provoca um acúmulo muito grande de erros. Também, a presença do equilíbrio dentro do atrator é a razão pela qual (1) não se enquadra na teoria hiperbólica de Smale [S].

Diante da dificuldade de se achar uma solução para este problema, em [GW] foi proposto um modelo geométrico de atrator estranho para o fluxo induzido pelas equações acima e as conclusões propostas por Lorenz foram provadas neste caso.

Motivados pelo campo acima, em [MPP] foi introduzida uma teoria, chamada hiperbólica singular, englobando singularidades robustamente acumuladas por órbitas periódicas, e portanto o sistema de Lorenz. Em [MPP] foi provado o seguinte resultado:

O resultado acima significa que qualquer atrator robusto contendo uma singularidade tem, de fato, todas as propriedades do modelo geométrico [GW].

Enquanto um desenvolvimento notável da teoria dos atratores Lorenz-like foi estabelecido e mesmo uma teoria hiperbólica singular tivesse surgido para explicar tais fenômenos, nada de novo sobre o Sistema de Lorenz foi provado, apesar das inúmeras tentativas feitas por matemáticos conceituados. O leitor interessado pode encontrar uma boa apresentação no livro de Sparrow [Sp]. E assim permaneceu por quase três décadas. Não que as equações acima tivessem um aspecto especial. Mas muitos matemáticos consideravam um ponto de “honra” resolvê-la. Finalmente, uma solução para este problema foi anunciada mais ou menos um ano atrás por W. Tucker, que era então um aluno de doutorado sob a orientação de L. Carleson na Universidade de Uppsala, Suécia:

Sua prova é baseada em computações numéricas rigorosas. Um primeiro passo é encontrar uma região no espaço de fase tal que órbitas começando nela nunca a deixam em tempos futuros. Para isto, Tucker construiu uma “grade” de pontos num candidato razoável R, e computou as soluções correspondentes aos pontos da grade, mostrando que todas elas permanecem em R para tempos futuros. O programa desenvolvido por ele calcula “estimativas ”rigorosas para os erros de integração, que são suficientemente boas para assegurar que estes erros não mascaram as conclusões obtidas da integração numérica.

Tucker também tem que evitar acumulação de erros que ocorrem quando trajetórias passam muito perto da origem. Para isto, ele introduziu outra idéia fundamental para a sua prova: usando a teoria de formas normais, pode-se encontrar coordenadas y tais que o campo de vetores X dado por (1) pode ser escrito como

onde L é um campo linear e G é muito pequeno perto da origem, por exemplo, . Então, soluções do fluxo linear podem ser vistas como soluções aproximadas do fluxo de X, com estimativas eficientes dos erros. Com isto, Tucker instrui seu programa a mudar de estratégia quando soluções batem numa pequena vizinhança da origem: invés de integrar passo a passo, ele usa aproximação pelo fluxo linear para estimar o ponto de saída da solução daquela vizinhança. Assim, o programa ’e capaz de manter controle do erro todo o tempo.

A prova de Tucker é longa, e só poderá ser completamente entendida estudando-se seu programa numérico. O leitor interessado pode consultar a home page de Tucker para detalhes:

http://www.math.uu.se/~warwick/thesis.html, onde há o texto de sua tese e os programas utilizados.