21º CBM - Cursos Avançados

São cursos destinados a alunos de graduação, mestrado e doutorado, com orientação para a pesquisa. Descrevem uma área em desenvolvimento de maneira accessível. Têm como objetivo introduzir e motivar os estudantes na pesquisa em andamento no Brasil.

 

A.1. Folheações Algébricas Complexas

Alcides Lins Neto (IMPA)
Bruno Scárdua (IMPA)

O curso tem como objetivo principal, expor os fundamentos bem como alguns dos resultados mais recentes, obtidos no campo do estudo das propriedades globais das folheações holomorfas singulares. O programa percorre um caminho dentro da história deste tema, iniciando com os resultados mais clássicos sobre a existência de integrais racionais e cotas para o número de soluções algébricas e culminando com a solução de alguns problemas dinâmicos mais recentes inspirados na teoria dos grupos Kleinianos, como o estudo de folheações com conjunto limite analítico. São tratados também os problemas de deformações de folheações holomorfas a tipo topológico constante e o problema de classificação das folheações via a sua estrutura transversal, que será modelada num espaço homogêneo. Embora não seja este o nosso objetivo principal, certamente se derivam deste estudo questões interessantes sobre problemas em aberto no campo considerado.

Pré-requisitos:
1) Alguma familiaridade com os resultados básicos de dinâmica complexa local em 2 variáveis;
2) alguma familiaridade com os resultados básicos de várias variáveis complexas (teoremas de extensão de Hartog’s e Levi).
3) um curso de funções de uma variável complexa.
Horário: diariamente das 8:30 às 9:30 hs

 

A.2. Soliton Equations, Bihamiltonian Manifolds and Integrability

Franco Magri
Marco Pedroni

In this course we will describe a curious interplay between geometrical ideas and integrability properties of soliton equations. Our aim is to use the simple geometrical idea of bihamiltonian manifold to systematically recover the whole theory of soliton equations. Motivated by recent results of Gelfand and Zakharevitch, we first discuss the paradigmatic example of the KdV hierarchy, then we pass to the more general KP equations, to finally arrive to the linear flows on the Sato Grassmannian.

Pré-requisitos: 1. Foundations of differential and Riemannan geometry;
2. foundantions of partial differential equations.
3. familiarity with Hamiltonian mechanics and sympletic geometry is useful but not indispensable.
Horário: diariamente das 14:00 às 15:00 hs

 

A.3. Stochastic Dynamics of Deterministic Systems (Dinâmica Estocástica de Sistemas Determinîsticos)

Marcelo Viana (IMPA)

É muito frequente que os dados experimentais extraidos de sistemas determinísticos na Natureza aparentem elevado grau de aleatoriedade: as sequências de observações (séries temporais) correspondentes a estados iniciais típicos parecem erráticas; estados iniciais proximos conduzem a observações muito diferentes após períodos de tempo longos (sensibilidade, comportamento caótico); mais ainda, as séries temporais também dependem sensivelmente de parâmetros do sistema (instabilidade).
Nessas condições e-se levado a buscar e exprimir invariantes intrínsecos do sistema em termos de propriedades estatísticas das séries temporais (ao invés do comportamento de órbitas individuais), tais como existência e unicidade de medidas físicas de probabilidade (medidas de Sinai-Ruelle-Bowen); decaimento das funções de correlação e suas consequencias; estabilidade de parâmetros estatísticos na presença de ruído aleatório (estabilidade estocástica).
O objetivo é dar uma panoramica dos avanços alcançados no estudo destes problemas, muitos dos quais são bastante recentes, focalizando diversas classes de sistemas diferenciáveis, tanto hiperbólicos (transformações expansoras, atratores Axioma A) como não (uniformemente) hiperbólicos (transformações unimodais do intervalo, atratores de difeomorfismos dissipativos).

Pré-Requisitos: Curso introdutório a sistemas dinâmicos e teória ergódica; noções básicas de análise e de probabilidades.
Horário: diariamente das 9:45 às 10:45 hs

 

A.4. Geometria Integral

Remi Langevin

A geometria integral começou quando Buffon observou que 2p é a frequência com que uma agulha jogada “ao acaso” intersecta uma das paralelas de uma familia convenientemente repartida no chão. No fim do século passado, o assunto quase morreu com os paradoxos de Bertrand. Salvo por Poincaré, o assunto desenvolveu-se com a escola de Blashke. Por volta de 1950, a topologia entrou em cena. Depois de apresentar o desenvolvimento histórico da geometria integral, chegaremos a perguntas em aberto, em particular sobre a geometria conforme.
Pré-requisitos: Geometria Diferencial – Geometria em R3, curvas, superfícies, curvaturas principais, curvatura de Gauss;
– característica de Euler, teorema de Poincaré-Hopf.
– um pouco de geometria em Rn e Sn , definição de uma métrica riemanniana, geodésicas, subvariedades totalmente geodésicas.
Topologia – Espaço projetivo real, variedades grassimanniannas;
– um pouco de teoria de Morse
– número de entrelaçamento de duas curvas em R3
Horário: diariamente das 9:45 às 10:45 hs.

 

A.5. Contour Ensembles and the Description of Gibbsian Probability Distributions at Low Temperature

Roberto Fernández (USP)

Contour ensembles were developed to describe the low-temperature behavior of Gibbsian distributions introduced in statistical mechanics. They yield a rather complete description without requiring more than elementary mathematics. Its theory should be of interest to the various fields where Gibbs distributions play a role. The course is intended as an introduction to these techniques, starting with the “Peierls argument” and proceeding to its powerful generalization, known as Pirogov-Sinai theory. Several applications will be presented. Aiming to general audiences, the course will start with a brief introduction to the notion of Gibbs distribution and other needed notions from statistical mechanics.

Pré-requisitos: Basic probability theory
Horário: diariamente das 14:00 às 15:00 hs

 

A.6. Tópicos em Equações Diferenciais Parciais Hiperbólicas 

Pedro Paulo Schirmer

O objetivo deste mini-curso consiste em abordar a teoria de equações diferenciais hiperbólicas sob um aspecto moderno, destacando as relações de dependência entre as propriedades analíticas dos operadores e a geometria diferencial subjacente ao problema. Um conhecimento de Geometria Riemaniana é desejado, porém não essencial.
A progressão dos temas é feita de tal maneira que os capítulos constituam unidades lógicas auto-contidas. Partindo do conceito de hiperbolicidade, estudamos o problema de Cauchy e a busca de soluções sobre diversos pontos de vista, em vários espaços funcionais. O teorema de existência local é discutido primeiramente de uma forma clássica, por envolver apenas conceitos básicos como espaços energéticos e desigualdades de Sobolev, e finalmente, de forma mais moderna e mais geral, através de métodos oriundos da análise harmônica. Particularmente importante são os operadores integrais de Fourier. Finalmente, discute-se a questão da existência global e de suas aplicações à teoria relativística do campo. Possíveis temas de discussão: equações de Yang-Mills. relatividade geral.

Pré-requisitos: Equações Diferenciais Parciais, Geometria Diferencial (opcional)
Horário: diariamente das 8:30 às 9:30 hs

 

A.7. Topics on Huygens’ Principle and Wave Propagation

Jorge Zubelli

This work has the following goals:

– Review the basic tools for the understanding of the behavior of solutions to the wave equation in N space dimensions. In particular a brief review of the method of spherical means.
– Discuss Hadamard’s criterion for an operator to satisfy Huygens’ Property, and in particular its connection with what is now called the Painlevé Property for PDEs.
– Discuss the main results of Lagnese and Stellmacher.
– Sketch the connections with integrable systems.

Distribution of Chapters:

a) The first chapter will be concerned with a review of the basic background material. (i.e., classical theory of the wave equation)
b) Hadamard’s criterion for an operator to satisfy Huygens’ Property.
c) Darboux transformations
d) Lagnese and Stellmacher’s results.
e) A brief review of the rational solutions of KdV and the results of Grünbaum and Duistermaat.
f) Some topics of current research.

Pré-requisitos: Curso de EDPs básico. Rudimentos de Análise Funcional e de Teoria Espectral. Noções de Geometria Riemanniana e Grupos de Lie.
Horário: 9:45 às 10:45 hs.