DESCRIÇÃO
A palavra criptografia ainda evoca imagens de agentes secretos sorrateiramente transferindo informações sigilosas a nações rivais. Entretanto, a principal missão da moderna criptografia é proteger as informações referentes a transações bancárias e comerciais que transitam entre computadores numa rede.
Este livro é uma introdução elementar a um dos métodos criptográficos mais populares atualmente, o RSA, e à área da matemática que lhe serve de fundamento, a teoria dos números.
O tratamento matemático do material é rigoroso, mas a apresentação é pouco convencional, recheada de exemplos concretos e notas históricas. Isto torna o livro mais agradável de ler do que o compêndio matemático tradicional.
O enfoque adotado é francamente algorítmico, e as demonstrações são, sempre que possível, construtivas. Além disso os pré-requisitos necessários à leitura do livro são mínimos, o que o põe ao alcance de um estudante do segundo grau. O material do livro tem sido utilizado em um curso de álgebra para informática na UFRJ.
CONTEÚDO
1 Introdução
1.1 Criptografia
1.2 Rivest, Shamir e Adleman
1.3 Construindo as Chaves
1.4 Equações diofantinas
1.5 Teoria dos números
1.6 Teoria dos números computacional
1.7 O livro
1.8 Teoremas e demonstrações
2 Algoritmos Fundamentais
2.1 Algoritmos
2.2 Algoritmo de divisão
2.3 Teorema de divisão
2.4 Algoritmo euclidiano
2.5 Demonstração do algoritmo euclidiano
2.6 Algoritmo euclidiano estendido
2.7 Equações diofantina lineares
2.8 Exercícios
3 Fatoração Única
3.1 Teorema da fatoração única
3.2 Existência da fatoração
3.3 Eficiência do algoritmo usual de fatoração
3.4 Fatoração por Fermat
3.5 Demonstração do algoritmo de Fermat
3.6 Propriedade fundamental dos primos
3.7 Unicidade da fatoração
3.8 Exercícios
4 Números Primos
4.1 Fórmulas polinomiais
4.2 Fórmulas exponenciais
4.3 Fórmulas fatoriais
4.4 Infinidade dos primos
4.5 Crivo de Erastóstenes
4.6 Exercícios
5 Aritmética modular
5.1 Relações de equivalência
5.2 Inteiros módulo n
5.3 Aritmética modular
5.4 Critérios de divisibilidade
5.5 Potências
5.6 Equações diofantinas
5.7 Divisão modular
5.8 Exercícios
6 Indução
6.1 Hanói! Hanói!
6.2 Indução finita
6.3 Algoritmos recursivos
6.4 Contando raízes
6.5 Exercícios
7 O Teorema de Fermat
7.1 A demonstração de Fermat
7.2 A demonstração de Euler
7.3 Potências e números de Mersenne
7.4 Exercícios
8 Pseudoprimos
8.1 Pseudoprimos
8.2 Números de Carmichael
8.3 O Teste Forete de composição
8.4 Primalidade e computação algébrica
8.5 Exercícios
9 Sistemas de congruências
9.1 Equações lineares
9.2 Um exemplo astronômico
9.3 Algoritmo chinês do resto
9.4 Módulos não coprimos
9.5 Potências, novamente
9.6 Partilha de senhas
9.7 Exercicios
10 Congruências quadráticas
10.1 Resíduos quadráticos
10.2 Equação modular de Pell
10.3 Multiplicando soluções
10.4 Contando soluções: o caso resíduo
10.5 Contando soluções: o caso não resíduo
10.6 Exercícios
11 Grupos
11.1 Definição e exemplos
11.2 Interlúdio
11.3 Subgrupos
11.4 O Teorema de Lagrange
11.5 Aplicações
11.6 A função de Euler
11.7 Comparando Grupos
11.8 Exercícios
12 Testes de primalidade
12.1 Os testes de Lucas e de Lucas-Lehmer
12.2 O teste de Brillhart, lehmer e Selfridge
12.3 Outras aplicações
12.4 Considerações preliminares
12.5 Teorema da raiz primitiva
12.6 Calculando ordens
12.7 Exercícios
13 Criptografia RSA
13.1 Codificando e decodificando
13.2 Porque o RSA funciona?
13.3 Por que o RSA é seguro?
13.4 Assinaturas digitais
13.5 Escolhendo primos
13.6 Exercícios
Epílogo
Apêndice
Bibliografia
Índice Remissivo
SOBRE O AUTOR
Severino Collier Coutinho
Graduou-se pela Universidade Federal de Pernambuco e obteve seu doutorado na Universidade de Leeds na Inglaterra. Atualmente é professor no Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro. Seus interesses de pesquisa são na área de álgebra e geometria algébrica.
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