Análise e Equações Diferenciais Parciais

A Análise se desenvolveu a partir do processo de passagem ao limite no Cálculo Diferencial e Integral. Um dos seus objetivos principais  é a resolução das equações diferenciais e integrais, caracterizando o espaço de soluções e assegurando a convergência dos métodos de solução por aproximação. Muitas de suas técnicas foram posteriormente unificadas na Análise Funcional, na qual os espaços de funções são considerados de forma abstrata.
A Análise é ferramenta indispensável na Física,  na Geometria, na Engenharia e em praticamente todos  os domínios das aplicações da Matemática.

As principais  áreas de pesquisa desenvolvidas no IMPA atualmente são: 

Equações Diferenciais Parciais da Física Matemática

São estudadas equações de evolução não lineares, como as de Korteweg-de Vries, Benjamin-Ono, Navier-Stokes e Euler, e são abordados aspectos como a existência de soluções, a unicidade, a dependência dos dados iniciais e o comportamento assintótico. Outro tema importante é a equação de Schrödinger com funções hamiltonianas dependentes do tempo, que é estudada através das propriedades espectrais dos operadores associados.

Problemas Inversos e Aplicações

A teoria de problemas inversos se dedica à determinação de parâmetros ou funções que entram em modelos físicos com base em propriedades ou observações das soluções das equações que caracterizam tais modelos. Em geral, os modelos considerados levam a equações diferenciais parciais, cuja solução requer a utilização de métodos numéricos conjuntamente, com técnicas analíticas. A área de problemas inversos tem sido objeto de grande atividade recente e tem interfaces multidisciplinares com aplicações, por exemplo, em tomografia computadorizada, geofísica, semicondutores e finanças quantitativas.

Sólitons e Análise Não Linear

Sólitons são ondas de grande amplitude que se propagam em meios não lineares e interagem sem mudanças substanciais na sua forma. Esta teoria se desenvolveu acentuadamente a partir da década de 1970, buscando compreender a surpreendente robustez deste fenômeno e desenvolver as suas inúmeras aplicações, que vão da engenharia ótica à transmissão de sinais.