Álgebra

As pesquisas em Álgebra no IMPA têm sido realizadas nas seguintes áreas:

Álgebra Comutativa
Geometria Algébrica
Teoria dos Números
Teoria das Representações

 

A Geometria Algébrica estuda a classificação, as propriedades de interseção e as singularidades de conjuntos definidos por equações polinomiais a várias variáveis. Classicamente, ela se originou no estudo das curvas e superfícies definidas por tais equações. Neste aspecto, tem muitas ligações com o estudo das variedades analíticas e diferenciais. Muitos de seus métodos são tipicamente da Topologia Algébrica e de certas partes da Análise. Em seu aspecto local, a Geometria Algébrica pode ser expressa na linguagem da Álgebra Comutativa. No aspecto global, lança mão de métodos cohomológicos, os quais têm influenciado outras partes da Matemática.

A Teoria dos Números teve seu impulso inicial na busca de soluções inteiras e racionais de equações a coeficientes inteiros (equações diofantinas). Entre outras coisas, isso levou ao estudo das extensões algébricas finitas do corpo dos números racionais e ao estudo da aritmética das variedades algébricas.

Os esforços para resolver abstratamente certos problemas que surgiram na Geometria Algébrica e na Teoria dos Números Algébricos deram origem à Álgebra Comutativa, cujos objetivos principais são a classificação dos anéis comutativos e a determinação de suas estruturas, segundo propriedades geométricas, aritméticas e algébricas.

Os resultados alcançados nestes tópicos de pesquisa fundamental têm encontrado ampla aplicação, por exemplo, nas áreas de criptografia e códigos corretores de erros.

A Teoria das Representações visa estudar estruturas algébricas abstratas representando-as como simetrias em espaços lineares. Muitos sistemas físicos são invariantes sob determinados grupos abstratos de simetrias. A Teoria da Representação tem por objetivo descrever essas simetrias de forma concreta como transformações lineares de espaços vetoriais. Seu poder reside na simplificação de muitos problemas de Álgebra abstrata, reduzindo-os a problemas mais simples de Álgebra Linear. Como tal, tem amplas aplicações em muitos outros ramos da Matemática e outras ciências, desde Análise de Fourier e Geometria Algébrica à Teoria dos Números e Formas Automórficas, através do programa de Langlands.

  

Pesquisadores