DESCRIÇÃO
Teoria dos Números é a parte da Matemática que se dedica ao estudo dos números inteiros e seus amigos. Diferentemente de muitas outras áreas da Matemática, a Teoria dos Números distingue-se muito menos por seus métodos, mas mais sim por seus problemas, cujo tema comum subjacente é o número inteiro. O aspecto multidisciplinar, aliado à simplicidade de seus conceitos e ao seu caráter fundamental, torna a Teoria dos Números um dos ramos mais populares em toda a Matemática, cativando pessoas de formações totalmente diversas.
O leitor encontrará neste livro, além de tópicos já consagrados como próprios da Teoria dos Números, tais como divisibilidade, congruências, primos, raízes primitivas e reciprocidade quadrática, diversos outros na interface com outras disciplinas, como Análise, Álgebra e até mesmo Computação.
Este livro foi escrito tendo em mente leitores com bagagens técnicas diversas e em diversos estágios de seu desenvolvimento matemático, seja o leitor aluno de graduação, pós-graduação, matemático profissional ou apenas um curioso aficionado em Matemática.
CONTEÚDO
I Fundamentos
0 Princípios
0.1 Princípio da Indução Finita
0.2 Princípio da Casa dos Pombos
1 Divisibilidade e Congruências
1.1 Divisibilidade
1.2 mdc, mmc e Algoritmo de Euclides
1.3 O Teorema Fundamental da Aritmética
1.4 Congruências
1.5 Bases
1.6 O Anel de Inteiros Módulo n
1.7 A Função de Euler e o Teorema de Euler-Fermat
1.8 Polinômios
1.9 Ordem e Raízes Primitivas
2 Equações Módulo m
2.1 Equações Lineares Módulo m
2.2 Congruências de Grau 2
2.2.1 Resíduos Quadráticos e Símbolo de Legendre
2.2.2 Lei de Reciprocidade Quadrática
2.2.3 Uma demonstração trigonométrica
2.3 Congruências de Grau Superior
3 Frações Contínuas
3.1 Reduzidas e Boas Aproximações
3.2 Boas Aproximações são Reduzidas
3.3 Frações Contínuas Periódicas
3.4 Os Espectros de Markov e Lagrange
4 Equações Diofantinas
4.1 Ternas Pitagóricas
4.2 Equações Diofantinas Quadráticas e Somas de Quadrados
4.2.1 Somas de Dois Quadrados
4.2.2 O Teorema de Legendre
4.2.3 Somas de Quatro Quadrados e o Problema de Waring
4.2.4 Somas de Três Quadrados
4.2.5 Teorema de Minkowski
4.3 Descenso Infinito de Fermat
4.3.1 Equação de Markov
4.3.2 Último Teorema de Fermat
4.4 Equação de Pell
4.4.1 Solução Inicial da Equação de Pell
4.4.2 A Equação x2 − Ay2 = −1
4.4.3 Soluções da Equação x2 − Ay2 = c
4.4.4 Soluções da Equação mx2 − ny2 = ±1
5 Funções Aritméticas
5.1 Funções Multiplicativas
5.2 Função de Möbius e Fórmula de Inversão
5.3 Algumas Estimativas sobre Primos
5.3.1 O Teorema de Chebyshev
5.3.2 O Postulado de Bertrand
5.3.3 Outras estimativas
5.4 A Função ϕ de Euler
5.5 A Função σ
5.6 Números Livres de Quadrados
5.7 As Funções ω e Ω
5.8 A Função Número de Divisores d (n)
5.9 A Função Número de Partições p (n)
5.10 A Função Custo Aritmético τ (n)
II Tópicos adicionais bacanas
6 Inteiros Algébricos
6.1 Inteiros de Gauß e Eisenstein
6.2 Extensões Quadráticas e Ciclotômicas
6.3 Alguns Resultados de Álgebra
6.3.1 Polinômios Simétricos
6.3.2 Extensões de Corpos e Números Algébricos
6.3.3 Imersões, Traço e Norma
6.4 Inteiros Algébricos
6.5 Ideais
6.5.1 Fatoração Única em Ideais Primos
6.6 Grupo de Classe e Unidades
7 Primos
7.1 Sobre a Distribuição dos Números Primos
7.1.1 O Teorema dos Números Primos
7.1.2 Primos Gêmeos e Primos de Sophie Germain
7.1.3 Outros Resultados e Conjecturas sobre Primos
7.2 Fórmulas para Primos
7.3 Testes de Primalidade
7.3.1 O teste probabilístico de Miller-Rabin
7.4 Testes determinísticos
7.4.1 Testes de Primalidade Baseados em Fatorações de n − 1
7.4.2 Teste de Agrawal, Kayal e Saxena
7.5 Primos de Mersenne
7.6 Sequências Recorrentes e Testes de Primalidade
7.7 Aspectos Computacionais
7.7.1 O Algoritmo de Multiplicação de Karatsuba
7.7.2 Multiplicação de Polinômios Usando FFT
7.7.3 Multiplicação de Inteiros Usando FFT
7.7.4 A Complexidade das Operações Aritméticas
7.8 Tabelas
8 Aproximações Diofantinas
8.1 Teoria Métrica das Aproximações Diofantinas
8.2 Aproximações Não-Homogêneas
8.3 O Teorema de Khintchine
8.3.1 O Caso Unidimensional
8.3.2 O Teorema de Khintchine Multidimensional
8.4 Números de Liouville
9 Introdução às Curvas Elípticas
9.1 Curvas Elípticas como Curvas Projetivas Planas
9.2 A Lei da Corda-Tangente
9.3 Curvas Elípticas como Rosquinhas
III Apêndices
A O Teorema dos Números Primos (por Jorge Aarão)
A.1 Os Conceitos Básicos
A.1.1 A Função Zeta de Riemann
A.1.2 A Função ψ(x)
A.2 Teoremas Tauberianos e o Teorema dos Números Primos
A.2.1 Teoremas Tauberianos
A.2.2 O Teorema dos Números Primos
A.3 Caráteres de Grupos, L-Séries de Dirichlet e o Teorema em Progressões Aritméticas
A.3.1 A Função ψ(x; q, ℓ)
A.3.2 Caráteres
A.3.3 L-séries de Dirichlet
A.4 O Lema de Landau
A.5 Bibliografia
B Sequências Recorrentes
B.1 Sequências Recorrentes Lineares
B.2 A Sequência de Fibonacci
B.3 A Recorrência xn +1 = x2n − 2
B.4 Fórmulas Gerais para Recorrências Lineares
C Qual o próximo destino?
C.1 Alguns comentários e sugestões
C.1.1 Fundamentos
C.1.2 Leis de Reciprocidade
C.1.3 Inteiros p-ádicos
C.1.4 Geometria Diofantina
C.2 Sugestões Bibliográficas
C.2.1 Textos Gerais
C.2.2 Textos sobre Teoria Analítica dos Números
C.2.3 Textos sobre Aproximações Diofantinas
C.2.4 Textos sobre Teoria Algébrica dos Números
C.2.5 Textos sobre Curvas Elípticas e Geometria Diofantina
Bibliografia
Índice Remissivo
SOBRE OS AUTORES
Fabio Enrique Brochero Martinez
Participou de diversas Olimpíadas de Matemática, tendo obtido medalhas de ouro e prata nas Olimpíadas Iberoamericana e Internacional de 1989. Graduou-se na Universidad Nacional de Colombia e depois veio para o Brasil, onde fez Mestrado e Doutorado no IMPA, sob orientação de César Camacho. Fez pós-doutorado na Universidade de Valladolid, na Espanha. Atualmente é Professor da UFMG. Sua principal área de pesquisa é a Dinâmica Holomorfa.
Tem colaborado em diversas Olimpíadas de Matemática. Faz parte de um grupo da UFMG que se dedica a uma das aplicações da Matemática que mais despertam o interesse geral: a estimativa de probabilidades no futebol.
Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira
Parece um verso alexandrino mas é o nome imponente de uma pessoa cordial e bem-humorada, que a família chama de Carlinhos e o resto do mundo conhece como Gugu. Começou a frequentar o IMPA aos 14 anos, defendeu sua dissertação de mestrado aos 16 (mais 364 dias) e hoje é Pesquisador Titular.
Ganhou medalha de ouro na Olimpíada Internacional de Matemática, no que foi antecedido pelo Nicolau, e até hoje os dois se dedicam à importante tarefa de incentivar e preparar os jovens brasileiros para nela concorrerem. Além de ser um brilhante matemático, com renome internacional, gosta de futebol, é flamenguista (ninguém é perfeito) e assíduo peladeiro, afirmando já ter marcado mais de 3800 gols.
Nicolau Corção Saldanha
Foi o primeiro brasileiro a ganhar medalha de ouro na Olimpíada Internacional de Matemática, em 1981. Depois disso, fez Graduação e Mestrado quase simultaneamente na PUC-Rio (onde hoje é Professor) e o Doutorado em Princeton. Tem trabalhado em diversas áreas da Matemática, como Topologia, Combinatória, Análise e Sistemas Dinâmicos.
É conhecido pelos colegas e alunos por sua boa vontade em se interessar pelos problemas matemáticos que os preocupam e ajudá-los com sugestões sempre valiosas. É membro, há muitos anos, da Comissão de Olimpíadas de Matemática da SBM, da qual foi coordenador.
Eduardo Tengan
Assim como os demais autores, o Eduardo teve seu talento para a Matemática descoberto precocemente pelas olimpíadas. Depois de experimentar o curso de Engenharia, percebeu que gostaria de levar o seu interesse pela Rainha das Ciências para toda a vida. O ET, como é chamado pelos amigos devido ao seu bom humor e personalidade de “outro mundo”, fez suas teses de doutorado na Universidade Emory. Isso mesmo, foram duas teses: uma em Teoria dos Grafos e outra em Álgebra.
Ele garante que o fator determinante na decisão de enfrentar dois doutorados foi ter assistido a um episódio de um desenho japonês!?! Surpreso? Quem conhece o Professor Tengan, não fica. Eduardo continua a cultivar amigos entre colegas professores, alunos e quem mais o conhecer com sua empatia única.
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