DESCRIÇÃO
Durante boa parte do século XX a álgebra foi encarada como o estudo abstrato das estruturas de grupos, anéis e corpos. Como não poderia deixar de ser, isto se refletiu nos cursos desta disciplina oferecidos nas universidades brasileiras.
Entretanto, desde a década de 1980 os pesquisadores da área têm demonstrado renovado interesse por exemplos concretos de grande relevância, sobretudo aqueles relacionados à geometria. A isto somou-se o desenvolvimento crescente de novos algoritmos para efetuar cálculos efetivos com polinômios, capitaneado pela computação algébrica. Neste livro propõe-se um curso elementar de álgebra para a graduação que procura levar em conta as mudanças acima mencionadas. Nele, o estudo abstrato dos anéis é substituído pelo do anel de polinômios em mais de uma indeterminada e seus quocientes, que estão na base da linguagem da geometria algébrica.
O tratamento é fundamentalmente algorítmico e as aplicações incluem, além de alguns problemas da geometria algébrica, a demonstração automática de teoremas da geometria euclidiana e a teoria de grafos.
CONTEÚDO
1 Introdução
1.1 Decartes
1.2 A Geometria: livro primeiro
1.3 Diagonais de um retângulo
1.4 O problema de Papus
1.5 A Geometria: livro segundo
1.6 As medianas de um triângulo
1.7 O Método
1.8 Apolônio
1.9 Comentários e complementos
1.10 Exercícios
2 Polinômios e ideais: uma indeterminada
2.1 Anéis
2.2 Corpos e domínios
2.3 Anéis de polinômios
2.4 Ideais
2.5 Polinômios sobre um corpo
2.6 Fatoração de polinômios
2.7 Fatoração à Kronecker
2.8 Comentários e complementos
2.9 Exercícios
3 Polinômios e ideais: várias indeterminadas
3.1 Polinômios em várias indeterminadas
3.2 Ideias em várias indeterminadas
3.3 Ideais e geometria
3.4 O radical
3.5 Comentários e complementos
3.6 Exercícios
4 Ordens monomiais e divisão
4.1 Motivação
4.2 Generalização
4.3 Ordens monomiais
4.4 Divisão
4.5 Análise do algoritmo de divisão
4.6 O teorema de divisão
4.7 Comentários e complementos
4.8 Exercícios
5 Bases de Gröbner
5.1 Bases de Gröbner
5.2 Propriedades das bases de Gröbner
5.3 O algoritmo de Buchberger
5.4 Critério de Buchberger
5.5 Bases de Gröbner reduzidas
5.6 O problema da pertinência
5.7 Complexidade
5.8 Comentários e complementos
5.9 Exercícios
6 Geometria Euclidiana no Plano
6.1 A reta de Newton-Gauss
6.2 Modelando as hipóteses
6.3 Diagonais de um paralelogramo
6.4 O método direto
6.5 O método refutacional
6.6 Mais exemplos
6.7 O teorema de Desargues
6.8 Descobrindo novos teoremas
6.9 A circunferência de nove pontos
6.10 Mecanismos articulados
6.11 Eliminação
6.12 Comentários e complementos
6.13 Exercícios
7 Anéis quocientes e homomorfismos
7.1 Inteiros modulares
7.2 Anéis quocientes
7.3 Exemplos
7.4 Homomorfismos
7.5 Teorema do homomorfismo
7.6 Corpos efetivos
7.7 Bases de Gröbner e cálculos efetivos
7.8 Comentários e complementos
7.9 Exercícios
8 Geometria algébrica
8.1 Conjuntos algébricos
8.2 A lemniscata de Bernoulli
8.3 Pontos singulares e cáusticas
8.4 Conjuntos construtivos e parametrizações
8.5 Sistemas de dimensão zero
8.6 Contando pontos
8.7 O radical em uma indeterminada
8.8 Radicais em dimensão zero
8.9 Faugère, Gianni, Lazard e Mora
8.10 Comentários e complementos
8.11 Exercícios
9 Grafos
9.1 Polinômios e grafos
9.2 Coloração de grafos
9.3 Cliques e ideais
9.4 Unicidade da coloração
9.5 Caminhos hamiltonianos
9.6 Comentários e complementos
9.7 Exercícios
Bibliografia
Índice
SOBRE O AUTOR
Severino Collier Coutinho
Graduou-se pela Universidade Federal de Pernambuco e obteve seu doutorado na Universidade de Leeds, na Inglaterra. Atualmente é professor no Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro. Seus interesses de pesquisa residem nas áreas de álgebra e geometria algébrica principalmente.
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