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Polinômios e Computação Algébrica

Polinômios e Computação Algébrica
Autor :
Páginas : 370
Publicação : IMPA, 2012
ISBN: 978-85-244-0345-3
1ª edição

Descrição

Este livro originou-se em notas de aula escritas para um curso sobre demonstração automática de teoremas oferecido na Primeira Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática, que realizou-se na Universidade Federal de Minas Gerais em 2002. Posteriormente, as mesmas notas foram utilizadas como texto para a disciplina eletiva de computação algébrica do curso de Ciência da Computação da Universidade Federal do Rio de Janeiro. Como os alunos da computação têm pouco conhecimento de álgebra, o curso deveria cobrir, além dos tópicos de computação algébrica, as noções básicas sobre anéis e ideais.

O resultado é um livro híbrido: uma introdução à álgebra no velho estilo dos séculos XVIII e XIX, em que a ênfase é sobre o que se pode calcular e como f azê-lo, ao invés de ser apenas uma discussão abstrata sobre estruturas. Mas há mais. A maior parte dos livros que seguem um caminho semelhante enxertam os tópicos de computação nas ementas usuais, nas quais a ênfase é sobre polinômios em uma indeterminada e extensões de corpos. Neste livro preferi adotar como coração do texto os polinômios em várias indeterminadas e o método das bases de Gröbner, que usamos para calcular com tais polinômios.

Há duas razões para a escolha deste caminho alternativo. A primeira é que a principal aplicação destas técnicas é em geometria algébrica, uma das minhas áreas preferidas na matemática e que queria poder apresentar aos alunos de computação. A segunda é que isto abriria as portas para aplicações interessantes e fáceis de motivar, como técnicas automáticas para demonstração de teoremas de geometria plana e as recentes aplicações da álgebra de polinômios na modelagem de problemas da teoria de grafos.

 

Conteúdo

1 Introdução

1.1 Descartes

1.2 A Geometria: livro primeiro

1.3 1.3 Diagonais de um retângulo

1.4 O problema de Papus

1.5 A Geometria: livro segundo

1.6 As medianas de um triângulo

1.7 O Método

1.8 Apolônio

1.9 Comentários e complementos

1.10 Exercícios

2 Polinômios e ideais: uma indeterminada

2.1 Anéis

2.2 Corpos e domínios

2.3 Anéis de polinômios

2.4 Ideais

2.5 Polinômios sobre um corpo

2.6 Fatoração de polinômios

2.7 Fatoração à Kronecker

2.8 Comentários e complementos

2.9 Exercícios

3 Polinômios e ideais: várias indeterminadas

3.1 Polinômios em várias indeterminadas

3.2 Ideais em várias indeterminadas

3.3 Ideais e geometria

3.4 O radical

3.5 Comentários e complementos

3.6 Exercícios

4 Ordens monomiais e divisão

4.1 Motivação

4.2 Generalizando

4.3 Ordens monomiais

4.4 Divisão

4.5 Análise do algoritmo de divisão

4.6 O teorema de divisão

4.7 Comentários e complementos

4.8 Exercícios

5 Bases sde Gröbner

5.1 Bases de Gröbner

5.2 Propriedades das bases de Gröbner

5.3 O algoritmo de Buchberger

5.4 Critério de Buchberger

5.5 Bases de Gröbner reduzidas

5.6 O problema da pertinência

5.7 Complexidade

5.8 Comentários e complementos

5.9 Exercícios

6 Geometria Euclidiana no Plano

6.1 A reta de Newton-Gauss

6.2 Modelando as hipóteses

6.3 Diagonais de um paralelogramo

6.4 O método direto

6.5 O método refutacional

6.6 Mais exemplos

6.7 O teorema de Desargues

6.8 Descobrindo novos teoremas

6.9 A circunferência de nove pontos

6.10 Mecanismos articulados

6.11 Eliminação

6.12 Comentários e complementos

6.13 Exercícios

7 Anéis quocientes e homomorfismos

7.1 Inteiros modulares

7.2 Anéis quocientes

7.3 Exemplos

7.4 Homomorfismos

7.5 Teorema do homomorfismo

7.6 Corpos efetivos

7.7 Bases de Gröbner e cálculos efetivos

7.8 Comentários e complementos

7.9 Exercícios

8 Geometria algébrica

8.1 Conjuntos algébricos

8.2 A lemniscata de Bernoulli

8.3 Pontos singulares e cáusticas

8.4 Conjuntos construtivos e parametrizações

8.5 Sistemas de dimensão zero

8.6 Contando pontos

8.7 O radical em uma indeterminada

8.8 Radicais em dimensão zero

8.9 Faugère, Gianni, Lazard e Mora

8.10 Comentários e complementos

8.11 Exercícios

9 Grafos

9.1 Polinômios e grafos

9.2 Coloração de grafos

9.3 Cliques ideais

9.4 Unicidade da coloração

9.5 Caminhos hamiltonianos

9.6 Comentários e complementos

9.7 Exercícios

Bibliografia

Índice

Autor

Severino Collier Coutinho

Graduou-se pela Universidade Federal de Pernambuco e obteve seu doutorado na Universidade de Leeds, na Inglaterra. Atualmente é professor no Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro. Seus interesses de pesquisa residem nas áreas de álgebra e geometria algébrica principalmente.