Navegar

Polinômios e Computação Algébrica

Polinômios e Computação Algébrica
Autor(es) : Severino Collier Coutinho
Páginas : 370
Publicação : IMPA, 2012
ISBN: 978-85-244-0345-3
1ª edição

DESCRIÇÃO

Durante boa parte do século XX a álgebra foi encarada como o estudo abstrato das estruturas de grupos, anéis e corpos. Como não poderia deixar de ser, isto se refletiu nos cursos desta disciplina oferecidos nas universidades brasileiras.

Entretanto, desde a década de 1980 os pesquisadores da área têm demonstrado renovado interesse por exemplos concretos de grande relevância, sobretudo aqueles relacionados à geometria. A isto somou-se o desenvolvimento crescente de novos algoritmos para efetuar cálculos efetivos com polinômios, capitaneado pela computação algébrica. Neste livro propõe-se um curso elementar de álgebra para a graduação que procura levar em conta as mudanças acima mencionadas. Nele, o estudo abstrato dos anéis é substituído pelo do anel de polinômios em mais de uma indeterminada e seus quocientes, que estão na base da linguagem da geometria algébrica. 

O tratamento é fundamentalmente algorítmico e as aplicações incluem, além de alguns problemas da geometria algébrica, a demonstração automática de teoremas da geometria euclidiana e a teoria de grafos.  

CONTEÚDO

1 Introdução
   1.1  Decartes
   1.2  A Geometria: livro primeiro
   1.3  Diagonais de um retângulo
   1.4  O problema de Papus
   1.5  A Geometria: livro segundo
   1.6  As medianas de um triângulo
   1.7  O Método
   1.8  Apolônio
   1.9  Comentários e complementos
   1.10  Exercícios

2 Polinômios e ideais: uma indeterminada
   2.1  Anéis
   2.2  Corpos e domínios
   2.3  Anéis de polinômios
   2.4  Ideais
   2.5  Polinômios sobre um corpo
   2.6  Fatoração de polinômios
   2.7  Fatoração à Kronecker
   2.8  Comentários e complementos
   2.9  Exercícios

3 Polinômios e ideais: várias indeterminadas
   3.1  Polinômios em várias indeterminadas
   3.2  Ideias em várias indeterminadas
   3.3  Ideais e geometria
   3.4  O radical
   3.5  Comentários e complementos
   3.6  Exercícios

4 Ordens monomiais e divisão
   4.1  Motivação
   4.2  Generalização
   4.3  Ordens monomiais
   4.4  Divisão
   4.5  Análise do algoritmo de divisão
   4.6  O teorema de divisão
   4.7  Comentários e complementos
   4.8  Exercícios

5 Bases de Gröbner
   5.1  Bases de Gröbner
   5.2  Propriedades das bases de Gröbner
   5.3  O algoritmo de Buchberger
   5.4  Critério de Buchberger
   5.5  Bases de Gröbner reduzidas
   5.6  O problema da pertinência
   5.7  Complexidade
   5.8  Comentários e complementos
   5.9  Exercícios

6 Geometria Euclidiana no Plano
   6.1  A reta de Newton-Gauss
   6.2  Modelando as hipóteses
   6.3  Diagonais de um paralelogramo
   6.4  O método direto
   6.5  O método refutacional
   6.6  Mais exemplos
   6.7  O teorema de Desargues
   6.8  Descobrindo novos teoremas
   6.9  A circunferência de nove pontos
   6.10  Mecanismos articulados
   6.11  Eliminação
   6.12  Comentários e complementos
   6.13  Exercícios

7 Anéis quocientes e homomorfismos
   7.1  Inteiros modulares
   7.2  Anéis quocientes
   7.3  Exemplos
   7.4  Homomorfismos
   7.5  Teorema do homomorfismo
   7.6  Corpos efetivos
   7.7  Bases de Gröbner e cálculos efetivos
   7.8  Comentários e complementos
   7.9  Exercícios

8 Geometria algébrica
   8.1  Conjuntos algébricos
   8.2  A lemniscata de Bernoulli
   8.3  Pontos singulares e cáusticas
   8.4  Conjuntos construtivos e parametrizações
   8.5  Sistemas de dimensão zero
   8.6  Contando pontos
   8.7  O radical em uma indeterminada
   8.8  Radicais em dimensão zero
   8.9  Faugère, Gianni, Lazard e Mora
   8.10  Comentários e complementos
   8.11  Exercícios

9 Grafos
   9.1  Polinômios e grafos
   9.2  Coloração de grafos
   9.3  Cliques e ideais
   9.4  Unicidade da coloração
   9.5  Caminhos hamiltonianos
   9.6  Comentários e complementos
   9.7  Exercícios

Bibliografia
Índice   

 

SOBRE O AUTOR

Severino Collier Coutinho

Graduou-se pela Universidade Federal de Pernambuco e obteve seu doutorado na Universidade de Leeds, na Inglaterra. Atualmente é professor no Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro. Seus interesses de pesquisa residem nas áreas de álgebra e geometria algébrica principalmente.

COMPRE ON-LINE

Loja virtual da SBM