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Números Inteiros e Criptografia RSA

Números Inteiros e Criptografia RSA
Autor(es) : Severino Collier Coutinho
Páginas : 226
Publicação : IMPA, 2014
ISBN: 978-85-244-0124-4
2ª edição

DESCRIÇÃO 

A palavra criptografia ainda evoca imagens de agentes secretos sorrateiramente transferindo informações sigilosas a nações rivais. Entretanto, a principal missão da moderna criptografia é proteger as informações referentes a transações bancárias e comerciais que transitam entre computadores numa rede.

Este livro é uma introdução elementar a um dos métodos criptográficos mais populares atualmente, o RSA, e à área da Matemática que lhe serve de fundamento, a Teoria dos Números.

O tratamento matemático do material é rigoroso, mas a apresentação é pouco convencional, recheada de exemplos concretos e notas históricas. Isto torna o livro mais agradável de ler do que o compêndio matemático tradicional.

O enfoque adotado é francamente algorítmico, e as demonstrações são, sempre que possível, construtivas. Além disso os pré-requisitos necessários à leitura do livro são mínimos, o que o põe ao alcance de um estudante do segundo grau. O material do livro tem sido utilizado em um curso de álgebra para informática na UFRJ. 

CONTEÚDO

Prefácio 

Introdução

   1. Criptografia
   2. Criptografia RSA
   3. Computação algébrica
   4. Teoria dos números
   5. Fermat, Euler e Gauss
   6. O livro
   7. Teoremas e demonstrações
   8. Pré-requisitos

Capítulo 1 Algoritmos fundamentais
   1. Algoritmos
   2. Algoritmo de divisão
   3. Teorema de divisão
   4. Algoritmo euclidiano
   5. Demonstração do algoritmo euclidiano
   6. Algoritmo euclidiano estendido
   7. Exercícios

Capítulo 2 Fatoração única
   1. Teorema da fatoração única
   2. Existência da fatoração
   3. Eficiência do algoritmo usual de fatoração
   4. Fatoração por Fermat
   5. Demonstração do algoritmo de Fermat    
   6. Propriedade fundamental dos primos
   7. Números irracionais
   8. Unicidade
   9. Exercícios

Capitulo 3 Números primos
   1. Fórmulas polinomiais
   2. Fórmulas exponenciais: números de Mersenne
   3. Fórmulas exponenciais: números de Fermat
   4. Fórmulas fatoriais
   5. Infinidade dos primos
   6. Crivo de Erastóstenes
   7. Exercícios

Capítulo 4 Aritmética modular
   1. Relações de equivalência
   2. Inteiros módulo n
   3. Aritmética modular
   4. Critérios de divisibilidade
   5. Potências
   6. Equações diofantinas      
   7. Divisão modular
   8. Exercícios

Capítulo 5 Indução e Fermat
   1. Hanói! Hanói!
   2. Indução finita
   3. Pequeno teorema de Fermat
   4. Contando raízes
   5. Exercícios

Capítulo 6 Pseudoprimos
   1. Pseudoprimos
   2. Números de Carmichael
   3. Teste de Miller
   4. Primalidade e computação algébrica
   5. Exercícios   

Capitulo 7 Sistemas de congruências
   1. Equações lineares
   2. Um exemplo astronômico
   3. Algoritmo chinês do resto
   4. Módulos não co-primos
   5. Potências, novamente
   6. Partilha de senhas
   7. Exercicios

Capitulo 8 Grupos
   1. Definição e exemplos
   2. Simetrias
   3. Interlúdio
   4. Grupos aritméticos
   5. Subgrupos
   6. Subgrupos cíclicos
   7. Determinando subgrupos
   8. Teorema de Lagrange
   9. Exercícios

Capítulo 9 Mersenne e Fermat
   1. Números de Mersenne  
   2. Números de Fermat
   3. Fermat, novamente
   4. O teste de Lucas-Lehmer
   5. Exercícios

Capitulo 10 Raízes primitivas
   1. Teste de Lucas  
   2. Outro teste determinístico de primalidade
   3. Números de Carmichael
   4. Preliminares
   5. Teorema da raiz primitiva
   6. Calculando ordens
   7. Exercícios

Capítulo 11 Criptografia RSA
   1. Pré-codificado
   2. Codificando e decodificando
   3. Porque funciona?
   4. Por que o RSA é seguro?
   5. Escolhendo primos
   6. Assinaturas
   7. Exercícios

Epílogo
   1. Criptografia e teoria dos números
   2. Teoria dos grupos
   3. Computação algébrica

Apêndice Algoritmos Complementares
   1. Raízes quadradas
   2. Potenciação módulo n

Bibliografia
Índice dos principais algoritmos
Índice dos principais resultados
Índice   

 

SOBRE O AUTOR

Severino Collier Coutinho

Graduou-se pela Universidade Federal de Pernambuco e obteve seu doutorado na Universidade de Leeds na Inglaterra. Atualmente é professor no Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro. Seus interesses de pesquisa são na área de Álgebra e Geometria Algébrica.

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