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Lições de Equações Diferenciais Ordinárias

Lições de Equações Diferenciais Ordinárias
Autor(es) : Jorge Sotomayor
Páginas : 331
Publicação : IMPA, 1979
ISBN: 85-244-0159-1
1ª edição

Conteúdo

Prefácio
Introdução

Quadro de interdependência entre capítulos

PARTE A: FUNDAMENTOS

CAPÍTULO I EXISTÊNCIA E UNICIDADE DE SOLUÇÕES
1. Preliminares
2. O problema de Cauchy

3. Exemplo

4. Teoremas de Picard ede Peano

5. Soluções máximas

6. Sistemas de equações diferenciais e equações de ordem superior

Exercícios

CAPÍTULO II DEPENÊNCIA DAS SOLUÇÕES EM RELAÇÃO ÀS CONDIÇÕES INICIAIS E PARÂMETROS
1. Preliminares
2. Continuidade
3. Diferenciabilidade
Exercícios

PARTE B: EQUAÇÕES LINEARES

CAPÍTULO II. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES
1. Preliminares
2. Propriedades gerais
3. Equações lineares com coeficientes constantes
4. Sistemas bidimensionais simples
5. Conjugação de sistemas lineares
6. Classificação topológica dos sistemas lineares hiperbólicos
7. Sistemas lineares complexos
8. Oscilações mecânicas e elétricas
Exercícios

CAPÍTULO IV ELEMENTOS DA TEORIA DE STURM-LIOUVILLE E PROBLEMAS DE CONTORNO
1. Os Teoremas de Sturm
2. Problemas de Sturm-Liouville
3. Existência de autovalores
4. O problema da corda vibrante
5. Expansão de séries de autofunções
Exercícios
Apêndice

CAPÍTULO V EQUAÇÕES LINEARES NO CAMPO COMPLEXO
1. Pontos singulares de um sistema linear
2. Pontos singulares simples
3. Soluções formais em pontos singulares simples
4. Matrizes fundamentais em um ponto singular simples
5. A equação de ordem n
6. Equações Fuchsianas de segunda ordem
7. O método de Frobenius
8. A equação hiper geométrica
9. A equação de Bessel
10. Funções de Bessel e a equação da membrana oscilante

Exercícios

PARTE C: TEORIA QUALITATIVA

CAPÍTULO VI ELEMENTOS DA TEORIA QUALITATIVA DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
1. Campos vetoriais e fluxos
2. Diferenciabilidade dos fluxos gerados por campos vetoriais
3. Retrato de fase de um campo vetorial
4. Equivalência e conjugação de campos vetoriais
5. Estrutura local dos pontos singulares dos hiperbólicos
6. Estrutura local de órbitas periódicas
7. Fluxos lineares no toro
Exercícios

CAPÍTULO VII O TEOREMA DE POINCARÉ-BENDIXSON

1. Conjuntos alpha-limite e omega-limite de uma órbita
2. O teorema de Poincaré-Bendixson
3. Aplicações do teorema de Poincaré-Bendixson
Exercícios

CAPÍTULO VIII ESTABILIDADE NO SENTIDO DE LIAPOUNOV
1. Estabilidade de Liapounov
2. O critério de Liapounov
Exercícios

CAPÍTULO IX ESTRUTURA LOCAL DOS PONTOS SINGULARES E ÓRBITAS PERIÓDICAS HIPERBÓLICAS
1. Preliminares
2. Teorema de Hartman para difeomorfismos e órbitas periódicas hiperbólicas
3. Teorema de Hartman em espaços de Banach
4. Teorema de Hartman para campos vetoriais e fluxos
5. Teorema de Hartman: caso local para difeomorfismos
6. Teorema de Hartman: caso local para campos vetoriais
7. Variedades invariantes
Apêndice: diferenciabilidade das variedades invariantes de pontos hiperbólicos
Exercícios

CAPÍTULO X TEORIA DE POINCARÉ-BENDIXSON EM SUPERFÍCIES
1. Número de rotação
2. Teorema de Schwartz
Exercícios

Bibliografia

Índice Alfabético

Autor

Jorge Sotomayor

Bacharelou-se em Matemática na Universidade de San Marcos, em Lima, Peru e doutorou-se no IMPA.

Foi professor do Instituto de Matemática na Universidade de Engenharia (Lima) e na Universidade da Califórnia (Berkeley) e pesquisador do IMPA até aposentar-se.

É autor de vários trabalhos de pesquisa sobre a Teoria de Bifurcações das Equações Diferenciais e seu trabalho é considerado pioneiro no enfoque moderno dessa área. Trabalha na interrelação entre as Teorias de Sistemas Dinâmicos e de Singularidades de Aplicações Diferenciáveis. Divulgador entusiasta da Teoria das Catástrofes de R. Thom.