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Introdução à Teoria dos Números

Introdução à Teoria dos Números
Autor :
Páginas : 198
Publicação : IMPA, 2015
ISBN: 978-85-244-0142-8
3ª edição

O livro é uma introdução à Teoria dos Números, escrita em linguagem acessível a alunos a partir do segundo ano de graduação.

Vários resultados importantes são precedidos de exemplos com o objetivo de ilustrar as ideias utilizadas nas demonstrações. Além dos problemas propostos há um significativo número de problemas resolvidos. Para alguns importantes teoremas são apresentadas também, demonstrações combinatórias.

 

Descrição

O estudo das propriedades dos números inteiros positivos é o objetivo central da Teoria dos Números. São três os principais ramos em que se divide a Teoria dos Números: Teoria Elementar, Teoria Analítica e Teoria Algébrica. Neste livro nos limitamos à parte elementar da Teoria dos Números, onde apresentamos resultados básicos, não apenas para o estudo das partes Analítica e Algébrica, como também, para os demais ramos da Matemática.

Introduzimos os conceitos através de um significativo número de exemplos procurando, desta forma, motivar o leitor antes deste ter contato com demonstrações formais.

No Capítulo 1, estudamos propriedades elementares sobre divisibilidade no conjunto dos números inteiros, sendo Algoritmo da Divisão (Teorema 1.2) o resultado mais importante. Duas das várias provas da infinitude dos primos são fornecidas.

No Capítulo 2, introduzimos o importantíssimo conceito de congruência onde a contribuição de Gauss foi fundamental. Teoremas de Euler, Fermat e Wilson são apresentados, não deixando de discutir o chamado Teorema do Resto Chinês.

O Princípio da Casa dos Pombos, apresentado no Capítulo 3, nem sempre é encontrado em textos introdutórios como este. Nosso objetivo, ao fazer isto, foi o de apresentar alguns aspectos combinatórios relacionados com Teoria dos Números. Demonstrações combinatórias para o Pequeno Teorema de Fermat e para o Teorema de Wilson são apresentadas neste Capítulo.

No capítulo 4, introduzimos algumas importantes funções aritméticas e relações entre elas. Além de uma caracterização dos números perfeitos pares dada por Euclides e Euler, introduzimos a importantíssima sequência dos Números de Fibonacci.

No estudo de Resíduos Quadráticos, feito no Capítulo 5, introduzimos o Símbolo de Legendre que nos permite obter informações sobre a existência ou não de soluções para a congruência X² equivalente a (modp). Nisto também contribuíram, de forma fundamental, Euler e Gauss. Apresentamos uma das várias demonstrações existentes da chamada Lei de Reciprocidade Quadrática de Gauss.

Uma completa caracterização dos números que possuem raízes primitivas é dada no Capítulo 6.

No Capítulo 7, fornecemos alguns resultados clássicos sobre a representação de inteiros como soma de quadrados

Frações contínuas, objeto de estudo do Capítulo 8, é uma vasta área em Teoria dos Números, da qual apresentamos apenas alguns importantes resultados dentre os quais destacamos a obtenção de aproximações de irracionais por racionais.

O conceito de Partições de um inteiro, onde Euler contribuiu de maneira fundamental, é introduzido no Capítulo 9, uma demonstração combinatória para o Teorema dos Números Pentagonais de Euler.

A equivalência entre a Primeira e Segunda formas do Princípio da Indução Finita e o Princípio da Boa Ordem é dada no Apêndice A. No Apêndice B, apresentamos mais duas provas da infinitude dos primos. Um interessante resultado sobre a distribuição dos primos, o Postulado de Bertrand, é fornecido no Apêndice C.

 

Conteúdo

Divisibilidade

1.1 Introdução
1.2 Divisibilidade
1.3 O Algoritmo da Divisão
1.4 O Máximo Divisor Comum
1.5 O Algoritmo de Euclides
1.6 Números Primos
1.7 Mínimo Múltiplo Comum
1.8 Critérios de Divisibilidade
1.9 Problemas Resolvidos
1.10 Problemas Propostos

Congruência

2.1 Congruência
2.2 Congruência Linear
2.3 Os Teoremas de Euler, Fermat e Wilson
2.4 O Teorema do Resto Chinês
2.5 Problemas Resolvidos
2.6 Problemas Propostos

Teoria Combinatória dos Números

3.1 Princípio da Casa dos Pombos
3.2 Generalizações – Exemplos
3.3 Demonstração Combinatória do Pequeno Teorema
3.4 Demonstração Combinatória do Teorema de Wilson
3.5 Problemas Propostos

Funções Aritméticas

4.1 Funções Aritméticas
4.2 A Função Phi de Euler
4.3 A Função µ de Möbius
4.4 A Função Maior Inteiro
4.5 Uma Relação Entre as Funções Phi e µ
4.6 Números Perfeitos
4.7 Recorrência e Números de Fibonacci
4.8 Problemas Resolvidos
4.9 Problemas Propostos

Resíduos Quadráticos

5.1 Resíduos Quadráticos
5.2 Símbolo de Legendre e o Critério de Euler
5.3 Lema de Gauss
5.4 Lei de Reciprocidade Quadrática
5.5 Símbolo de Jacobi
5.6 Problemas Resolvidos
5.7 Problemas Propostos

Raízes Primitivas

6.1 Raízes Primitivas
6.2 Raízes Primitivas Módulo p^t
6.3 Raízes Primitivas Módulo 2p^t
6.4 Somente 1, 2, 4, p^t, 2p^t Possuem Raízes Primitivas
6.5 Símbolo de Jacobi
6.6 Problemas Resolvidos
6.7 Problemas Propostos

Representação de Inteiros como Soma de Quadrados

7.1 O Problema de Waring
7.2 Soma de Dois Quadrados
7.3 Soma de Quatro Quadrados
7.4 Um Teorema de Unicidade de Euler
7.5 Problemas Resolvidos
7.6 Problemas Propostos

Frações Contínuas

8.1 Definição – Notação
8.2 Convergentes
8.3 Aproximações Sucessivas
8.4 Propriedades dos Convergentes
8.5 Problemas Resolvidos
8.6 Problemas Propostos

Partições

9.1 Partições
9.2 Gráfico de uma Partição
9.3 Funções Geradoras
9.4 Problemas Resolvidos
9.5 Problemas Propostos

1. Os Princípios da Boa Ordem e da Indução Finita
2. Sobre a Infinidade dos Primos
3. O Postulado de Bertran

Bibliografia
Índice

Autor

José Plínio de Oliveira Santos

José Plínio de Oliveira Santos, mineiro de Lambari, é bacharel e mestre pela Unicamp, e doutor pela Pennsylvania State University. Trabalha desde 1976 no Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica da Unicamp, tendo chefiado o Departamento de Matemática aplicada entre 1994 e 1998. É coautor do livro “Introdução à Análise Combinatória”.