DESCRIÇÃO
O livro é resultado das notas de aulas do autor ao longo de vários anos ministrando o curso de Teoria da Medida no programa de pós-graduação do IMPA. A apresentação do material é construtiva e autossuficiente. Um curso de análise em varias variáveis é suficiente como pré-requisito. O texto é apresentado numa maneira simples. A teoria é ilustrada com exemplos complementares e cada capítulo contém uma lista de exercícios para reforçar a teoria e muitas vezes estender alguns conceitos desenvolvidos anteriormente.
CONTEÚDO
Introdução: Riemann x Lebesque
1 Medida
1.1 Convenções
1.2 Semi-Anéis
1.3 Anéis
1.4 Medidas Positivas
1.5 Medidas Regulares
1.6 Medidas σ-Aditivas
1.7 Conjuntos Finitos e a Medida de Contagem (revisão)
1.8 Conjuntos Enumeráveis (revisão)
1.9 Exercícios
2 A Integral das Funções Simples e a Integral Superior
2.1 Notações
2.2 Funções Simples
2.3 Espaços Vetoriais de Funções
2.4 Reticulados Vetoriais
2.5 Propriedades da Integral das Funções Simples
2.6 A Integral Superior
2.7 Exercícios
3 A Extensão de Lebesque
3.1 Semi-Normas e Normas
3.2 O Espaço Normado Quociente
3.3 Convergência e Continuidade
3.4 O Critério de Cauchy
3.5 Operadores Lineares Limitados
3.6 σ-Álgebras
3.7 A σ-Álgebra de Lebesque
3.8 Exercícios
4 Conjuntos Mensuráveis
4.1 Espaços de Medida
4.2 Um Exemplo de Borel
4.3 O Conjunto Ternário de Cantor
4.4 Exercícios
5 Funções Mensuráveis
5.1 Propriedades Qualitativas
5.2 A Integral das Funções Mensuráveis não Negativas
5.3 Propriedades que Valem Quase em Toda Parte
5.4 Funções Semi-Integráveis ou Integráveis
5.5 Convergência Monótona
5.6 A Integral Indefinida
5.7 Exercícios
6 As Integrais de Lebesque e Riemann
6.1 A Medida Produto
6.2 A Medida de Lebesque
6.3 Funções Integráveis à Riemann
6.4 O Teorema Fundamental do Cálculo
6.5 A Integral Imprópria de Riemann
6.6 Exercícios
7 O Teorema da Convergência Dominada
7.1 Funções Vetoriais ou Complexas
7.2 O Lema de Fatou
7.3 Convergência Dominada
7.4 Derivação Dominada
7.5 Exercícios
8 As σ-Álgebras de Borel e Lebesque
8.1 σ-Álgebra Gerada
8.2 Borelianos
8.3 O Valor da Medida
8.4 Conjuntos σ-finitos
8.5 Completamento de σ-Álgebra
8.6 A Unicidade de Λ
8.7 Funções Borel-mensuráveis
8.8 Borelianos em Subespaços
8.9 A Extensão de μ: S → [0, +∞]
8.10 Exercícios
9 O Transporte de Medidas e outras Questões
9.1 Dois Lemas Úteis
9.2 A Integração em Espaços de Medidas
9.3 Medida Transportada
9.4 A Invariança por Translações e Permutações de Variáveis
9.5 Conjuntos não Mensuráveis
9.6 A σ-Álgebra de Borel não é Completa
9.7 A Medida de Contagem
9.8 Exercícios
10 O Teorema de Fubini
10.1 Funções Definidas q.t.p.
10.2 A Medida Produto
10.3 O Produto de Conjuntos Mensuráveis
10.4 A Integral como Medida da Área entre os Gráficos
10.5 Alguns Exemplos
10.6 Exercícios
11 Mudanças de Variável
11.1 A Medida ν = ∫gdμ
11.2 A Integração em Subespaços
11.3 A Medida de Lebesque-Stieltjes
11.4 O Teorema da Mudança de Variável
11.5 Coordenadas Polares em R2
11.6 Coordenadas Esféricas
11.7 Exercícios
12 Espaços Lp
12.1 O Espaço L∞
12.2 Funções Convexas
12.3 Desigualdades
12.4 Os Espaços Lp
12.5 Casos Particulares
12.6 Exercícios
13 Lp é Completo
13.1 Métricas Invariantes por Translações
13.2 Séries
13.3 Subseqüências
13.4 Espaços Completos
13.5 Convergência em Lp x convergência q.t.p
13.6 Subespaços Densos de Lp
13.7 Espaços de Hilbert e Séries de Fourier
13.8 Exercícios
14 Medidas com Sinal e o Teorema de Radon-Nikodym
14.1 As Varianças Positiva, Negativa e Total da Medida
14.2 A Decomposição de Hahn
14.3 O Teorema de Radon-Nikodym
14.4 Medidas Singulares
14.5 O Espaço M(A)
14.6 Exercícios
15 Convergência em Medida
15.1 Convergência Quase-uniforme
15.2 Convergência em Medida
15.3 Teorema da Convergência de Vitali
15.4 Exercícios
16 O Teorema da Dualidade de Riesz
16.1 Espaços de Operadores
16.2 Espaço Dual
16.3 Exercícios
Bibliografia
Índice Remissivo
SOBRE O AUTOR
Carlos Isnard
Obteve seu doutorado em 1972, na Universidade de Chicago e esteve ligado ao IMPA, desenvolvendo suas atividades acadêmicas, desde 1964. Seus interesses matemáticos se concentraram na Teoria do Grau Topológico, Teoria das Catástrofes e Otimização.
Durante sua carreira manifestou especial atenção para com o ensino, marcando profundamente a formação de inúmeros estudantes. Sabia como ninguém fazer graça das vaidades humanas sem, no entanto, ser ofensivo. Bem humorado, tolerante e tranquilo, era típico carioca, personagem em extinção nos dias de hoje.
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