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Introdução à Medida e Integração

Introdução à Medida e Integração
Autor(es) : Carlos Isnard
Páginas : 314
Publicação : IMPA, 2013
ISBN: 978-85-244-0105-3
3ª edição

Conteúdo

Prefácio
Introdução: Riemann x Lebesgue

Capítulo 1. Medida

1.1 Convenções
1.2 Semi-Anéis
1.3 Anéis
1.4 Medidas Positivas
1.5 Medida Regulares
1.6 Medidas σ-Aditivas
1.7 Conjuntos Finitos e a Medida de Contagem (revisão)
1.8 Conjuntos Enumeráveis (revisão)
1.9 Exercícios

Capítulo 2. A Integral das Funções Simples e a Integral Superior

2.1 Notações
2.2 Funções Simples
2.3 Espaços Vetoriais de Funções
2.4 Reticulados Vetoriais
2.5 Propiedades da Integral das Funções Simples
2.6 A Integral Superior
2.7 Exercícios

Capítulo 3. A Extensão de Lebesgue

3.1 Semi-Normas e Normas
3.2 O Espaço Normado Quociente
3.3 Convergência e Continuidade
3.4 O Critério de Cauchy
3.5 Operadores Lineares Limitados
3.6 σ-Álgebras
3.7 A sigma-Álgebra de Lebesgue
3.8 Exercícios

Capítulo 4. Conjuntos Mensuráveis

4.1 Espaços de Medida
4.2 Um Exemplo de Borel 
4.3 O Conjunto Ternário de Cantor
4.4 Exercícios

Capítulo 5. Funções Mensuráveis

5.1 Propriedades Qualitativas
5.2 A Integral das Funções Mensuráveis não Negativas
5.3 Propriedades que Valem Quase em Toda Parte
5.4 Funções Semi-Integráveis ou Integráveis
5.5 Convergência Monótona
5.6 A Integral Indefinida
5.7 Exercícios

Capítulo 6. As Integrais de Lebesgue e Riemann

6.1 A Medida Produto
6.2 A Medida de Lebesgue
6.3 Funções Integráveis à Riemann
6.4 O Teorema Fundamental do Cálculo
6.5 A Integral Imprópria de Riemann
6.6 Exercícios

Capítulo 7. O Teorema da Convergência Dominada

7.1 Funções Vetoriais ou Complexas
7.2 O Lema de Fatou
7.3 Convergência Dominada
7.4 Derivação Dominada
7.5 Exercícios

Capítulo 8. As σ-Álgebras de Borel e Lebesgue

8.1 σ-Álgebra Gerada
8.2 Borelianos
8.3 O Valor da Medida
8.4 Conjuntos σ-finitos
8.5 Complemento de σ-Álgebra
8.6 A Unicidade de Λ
8.7 Funções Borrel-mensuráveis
8.8 Borelianos em Subespaços
8.9 A Extensão de
8.10 Exercícios
Capítulo 9. O Transporte de Medidas e outras Questões

9.1 Dois Lemas Úteis
9.2 A Integração em Espaços de Medidas
9.3 Medida Transportada
9.4 A Invariança por Translações e Permutações de Variáveis
9.5 Conjuntos não Mensuráveis
9.6 A σ-Álgebra de Borel não é Completa
9.7 A Medida de Contagem
9.8 Exercícios
Capítulo 10. O Teorema de Fubini

10.1 Funções Definidas q.t.p.
10.2 A Medida Produto
10.3 O Produto de Conjuntos Mensuráveis
10.4 A Integral como Medida da Área entre os Gráficos
10.5 Alguns Exemplos
10.6 Exercícios

Capítulo 11. Mudança de Variável

11.1 A Medida ν = ∫ gdμ
11.2 A Integração em Subespaços
11.3 A Medida de Lebesgue-Stieltjes
11.4 O Teorema da Mudança de Variável
11.5 Coordenadas Polares em R2
11.6 Coordenadas Esféricas
11.7 Exercícios

Capítulo 12. Espaços Lp

12.1 O Espaço
12.2 Funções Convexas
12.3 Desigualdades
12.4 Os Espaços Lp
12.5 Casos Particulares
12.6 Exercícios

Capítulo 13. Lp é Completo

13.1 Métricas Invariantes
13.2 Séries
13.3 Subseqüências
13.4 Espaços Completos
13.5 Convergência em Lp × convergência q.t.p.
13.6 Subespaços Densos de Lp
13.7 Espaços de Hilbert e Séries de Fourier
13.8 Exercícios

Capítulo 14. Medidas com Sinal e o Teorema de Radon-Nikodym

14.1 As Varianças Positiva, Negativa e Total da Medida
14.2 A Decomposição de Hahn
14.3 O Teorema de Radon-Nikodym
14.4 Medidas Singulares
14.5 O Espaço
14.6 Exercícios

Capítulo 15. Convergência em Medida

15.1 Convergência Quase-uniforme
15.2 Convergência em Medida
15.3 Teorema da Convergência de Vitali
15.4 Exercícios

Capítulo 16. O Teorema da Dualidade de Riesz

16.1 Espaços de Operadores
16.2 Espaço Dual
16.3 Exercícios

Bibliografia

Índice Remissivo

Autor

Carlos Isnard

Carlos Isnard obteve seu doutorado em 1972, na Universidade de Chicago e esteve ligado ao IMPA, desenvolvendo suas atividades acadêmicas, desde 1964. Seus interesses matemáticos se concentraram na Teoria do Grau Topológico, Teoria das Catástrofes e Otimização.

Durante sua carreira manifestou especial atenção para com o ensino, marcando profundamente a formação de inúmeros estudantes. Sabia como ninguém fazer graça das vaidades humanas sem, no entanto, ser ofensivo. Bem humorado, tolerante e tranqüilo, era típico carioca, personagem em extinção nos dias de hoje.