Introdução à Medida e Integração

Conteúdo

Prefácio
Introdução: Riemann x Lebesgue

Capítulo 1. Medida

1.1 Convenções
1.2 Semi-Anéis
1.3 Anéis
1.4 Medidas Positivas
1.5 Medida Regulares
1.6 Medidas σ-Aditivas
1.7 Conjuntos Finitos e a Medida de Contagem (revisão)
1.8 Conjuntos Enumeráveis (revisão)
1.9 Exercícios

Capítulo 2. A Integral das Funções Simples e a Integral Superior

2.1 Notações
2.2 Funções Simples
2.3 Espaços Vetoriais de Funções
2.4 Reticulados Vetoriais
2.5 Propiedades da Integral das Funções Simples
2.6 A Integral Superior
2.7 Exercícios

Capítulo 3. A Extensão de Lebesgue

3.1 Semi-Normas e Normas
3.2 O Espaço Normado Quociente
3.3 Convergência e Continuidade
3.4 O Critério de Cauchy
3.5 Operadores Lineares Limitados
3.6 σ-Álgebras
3.7 A sigma-Álgebra de Lebesgue
3.8 Exercícios

Capítulo 4. Conjuntos Mensuráveis

4.1 Espaços de Medida
4.2 Um Exemplo de Borel 
4.3 O Conjunto Ternário de Cantor
4.4 Exercícios

Capítulo 5. Funções Mensuráveis

5.1 Propriedades Qualitativas
5.2 A Integral das Funções Mensuráveis não Negativas
5.3 Propriedades que Valem Quase em Toda Parte
5.4 Funções Semi-Integráveis ou Integráveis
5.5 Convergência Monótona
5.6 A Integral Indefinida
5.7 Exercícios

Capítulo 6. As Integrais de Lebesgue e Riemann

6.1 A Medida Produto
6.2 A Medida de Lebesgue
6.3 Funções Integráveis à Riemann
6.4 O Teorema Fundamental do Cálculo
6.5 A Integral Imprópria de Riemann
6.6 Exercícios

Capítulo 7. O Teorema da Convergência Dominada

7.1 Funções Vetoriais ou Complexas
7.2 O Lema de Fatou
7.3 Convergência Dominada
7.4 Derivação Dominada
7.5 Exercícios

Capítulo 8. As σ-Álgebras de Borel e Lebesgue

8.1 σ-Álgebra Gerada
8.2 Borelianos
8.3 O Valor da Medida
8.4 Conjuntos σ-finitos
8.5 Complemento de σ-Álgebra
8.6 A Unicidade de Λ
8.7 Funções Borrel-mensuráveis
8.8 Borelianos em Subespaços
8.9 A Extensão de
8.10 Exercícios
Capítulo 9. O Transporte de Medidas e outras Questões

9.1 Dois Lemas Úteis
9.2 A Integração em Espaços de Medidas
9.3 Medida Transportada
9.4 A Invariança por Translações e Permutações de Variáveis
9.5 Conjuntos não Mensuráveis
9.6 A σ-Álgebra de Borel não é Completa
9.7 A Medida de Contagem
9.8 Exercícios
Capítulo 10. O Teorema de Fubini

10.1 Funções Definidas q.t.p.
10.2 A Medida Produto
10.3 O Produto de Conjuntos Mensuráveis
10.4 A Integral como Medida da Área entre os Gráficos
10.5 Alguns Exemplos
10.6 Exercícios

Capítulo 11. Mudança de Variável

11.1 A Medida ν = ∫ gdμ
11.2 A Integração em Subespaços
11.3 A Medida de Lebesgue-Stieltjes
11.4 O Teorema da Mudança de Variável
11.5 Coordenadas Polares em R2
11.6 Coordenadas Esféricas
11.7 Exercícios

Capítulo 12. Espaços Lp

12.1 O Espaço
12.2 Funções Convexas
12.3 Desigualdades
12.4 Os Espaços Lp
12.5 Casos Particulares
12.6 Exercícios

Capítulo 13. Lp é Completo

13.1 Métricas Invariantes
13.2 Séries
13.3 Subseqüências
13.4 Espaços Completos
13.5 Convergência em Lp × convergência q.t.p.
13.6 Subespaços Densos de Lp
13.7 Espaços de Hilbert e Séries de Fourier
13.8 Exercícios

Capítulo 14. Medidas com Sinal e o Teorema de Radon-Nikodym

14.1 As Varianças Positiva, Negativa e Total da Medida
14.2 A Decomposição de Hahn
14.3 O Teorema de Radon-Nikodym
14.4 Medidas Singulares
14.5 O Espaço
14.6 Exercícios

Capítulo 15. Convergência em Medida

15.1 Convergência Quase-uniforme
15.2 Convergência em Medida
15.3 Teorema da Convergência de Vitali
15.4 Exercícios

Capítulo 16. O Teorema da Dualidade de Riesz

16.1 Espaços de Operadores
16.2 Espaço Dual
16.3 Exercícios

Bibliografia

Índice Remissivo