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Introdução à Medida e Integração

Introdução à Medida e Integração
Autor(es) : Carlos Isnard
Páginas : 314
Publicação : IMPA, 2018
ISBN: 978-85-244-0457-3
3ª edição

CONTEÚDO

Introdução: Riemann x Lebesque

1 Medida
  1.1 Convenções
  1.2 Semi-Anéis
  1.3 Anéis
  1.4 Medidas Positivas
  1.5 Medidas Regulares
  1.6 Medidas σ-Aditivas
  1.7 Conjuntos Finitos e a Medida de Contagem (revisão)
  1.8 Conjuntos Enumeráveis (revisão)
  1.9 Exercícios

2 A Integral das Funções Simples e a Integral Superior
  2.1 Notações
  2.2 Funções Simples
  2.3 Espaços Vetoriais de Funções
  2.4 Reticulados Vetoriais
  2.5 Propriedades da Integral das Funções Simples
  2.6 A Integral Superior
  2.7 Exercícios

3 A Extensão de Lebesque
  3.1 Semi-Normas e Normas
  3.2 O Espaço Normado Quociente
  3.3 Convergência e Continuidade
  3.4 O Critério de Cauchy
  3.5 Operadores Lineares Limitados
  3.6 σ-Álgebras
  3.7 A σ-Álgebra de Lebesque
  3.8 Exercícios

4 Conjuntos Mensuráveis
  4.1 Espaços de Medida
  4.2 Um Exemplo de Borel
  4.3 O Conjunto Ternário de Cantor
  4.4 Exercícios

5 Funções Mensuráveis
  5.1 Propriedades Qualitativas
  5.2 A Integral das Funções Mensuráveis não Negativas
  5.3 Propriedades que Valem Quase em Toda Parte
  5.4 Funções Semi-Integráveis ou Integráveis
  5.5 Convergência Monótona
  5.6 A Integral Indefinida
  5.7 Exercícios

6 As Integrais de Lebesque e Riemann
  6.1 A Medida Produto
  6.2 A Medida de Lebesque
  6.3 Funções Integráveis à Riemann
  6.4 O Teorema Fundamental do Cálculo
  6.5 A Integral Imprópria de Riemann
  6.6 Exercícios

7 O Teorema da Convergência Dominada
  7.1 Funções Vetoriais ou Complexas
  7.2 O Lema de Fatou
  7.3 Convergência Dominada
  7.4 Derivação Dominada
  7.5 Exercícios

8 As σ-Álgebras de Borel e Lebesque
  8.1 σ-Álgebra Gerada
  8.2 Borelianos
  8.3 O Valor da Medida
  8.4 Conjuntos σ-finitos
  8.5 Completamento de σ-Álgebra
  8.6 A Unicidade de Λ
  8.7 Funções Borel-mensuráveis
  8.8 Borelianos em Subespaços
  8.9 A Extensão de μ: S → [0, +∞]
  8.10 Exercícios

9 O Transporte de Medidas e outras Questões
  9.1 Dois Lemas Úteis
  9.2 A Integração em Espaços de Medidas
  9.3 Medida Transportada
  9.4 A Invariança por Translações e Permutações de Variáveis
  9.5 Conjuntos não Mensuráveis
  9.6 A σ-Álgebra de Borel não é Completa
  9.7 A Medida de Contagem
  9.8 Exercícios

10 O Teorema de Fubini
  10.1 Funções Definidas q.t.p.
  10.2 A Medida Produto
  10.3 O Produto de Conjuntos Mensuráveis
  10.4 A Integral como Medida da Área entre os Gráficos
  10.5 Alguns Exemplos
  10.6 Exercícios

11 Mudanças de Variável
  11.1 A Medida ν = ∫gdμ
  11.2 A Integração em Subespaços
  11.3 A Medida de Lebesque-Stieltjes
  11.4 O Teorema da Mudança de Variável
  11.5 Coordenadas Polares em R2
  11.6 Coordenadas Esféricas
  11.7 Exercícios

12 Espaços Lp
  12.1 O Espaço L
  12.2 Funções Convexas
  12.3 Desigualdades
  12.4 Os Espaços Lp
  12.5 Casos Particulares
  12.6 Exercícios

13 Lp é Completo
  13.1 Métricas Invariantes por Translações
  13.2 Séries
  13.3 Subseqüências
  13.4 Espaços Completos
  13.5 Convergência em Lp x convergência q.t.p
  13.6 Subespaços Densos de Lp
  13.7 Espaços de Hilbert e Séries de Fourier
  13.8 Exercícios

14 Medidas com Sinal e o Teorema de Radon-Nikodym
  14.1 As Varianças Positiva, Negativa e Total da Medida
  14.2 A Decomposição de Hahn
  14.3 O Teorema de Radon-Nikodym
  14.4 Medidas Singulares
  14.5 O Espaço M(A)
  14.6 Exercícios

15 Convergência em Medida
  15.1 Convergência Quase-uniforme
  15.2 Convergência em Medida
  15.3 Teorema da Convergência de Vitali
  15.4 Exercícios

16 O Teorema da Dualidade de Riesz
  16.1 Espaços de Operadores
  16.2 Espaço Dual
  16.3 Exercícios

Bibliografia
Índice Remissivo

 

SOBRE O AUTOR

Carlos Isnard

Obteve seu doutorado em 1972, na Universidade de Chicago e esteve ligado ao IMPA, desenvolvendo suas atividades acadêmicas, desde 1964. Seus interesses matemáticos se concentraram na Teoria do Grau Topológico, Teoria das Catástrofes e Otimização.

Durante sua carreira manifestou especial atenção para com o ensino, marcando profundamente a formação de inúmeros estudantes. Sabia como ninguém fazer graça das vaidades humanas sem, no entanto, ser ofensivo. Bem humorado, tolerante e tranquilo, era típico carioca, personagem em extinção nos dias de hoje.

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