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Geometria Riemanniana

Geometria Riemanniana
335 páginas
Publicação : IMPA, 2015
ISBN: 978-85-244-0036-0
5ª edição

Conteúdo

Prefácio da Primeira Edição

Prefácio da Segunda Edição

Como usar este livro

Capítulo 0 – Variedades Diferenciáveis

1. Introdução
2. Variedades diferenciáveis, espaço tangente
3. Imersões e mergulhos; exemplos
4. Outros exemplos de variedades. Orientação
5. Campos de vetores; colchetes. Topologia das variedades

Capítulo 1 – Métricas Riemannianas

1. Introdução
2. Métricas Riemannianas

Capítulo 2 – Conexões Afins; Conexão Riemanniana

1. Introdução
2. Conexões afins
3. Conexão Riemanniana

Capítulo 3 – Geodésicas; Vizinhanças Convexas

1. Introdução
2. O fluxo geodésico
3. Propriedades minimizantes das geodésicas
4. Vizinhanças convexas

Capítulo 4 – Curvaturas

1. Introdução
2. Curvatura
3. Curvatura seccional
4. Curvatura de Ricci e curvatura escalar
5. Tensores em Variedades Riemannianas

Capítulo 5 – Campos de Jacobi

1. Introdução
2. A equação de Jacobi
3. Pontos conjugados

Capítulo 6 – Imersões Isométricas

1. Introdução
2. A segunda forma fundamental
3. As equações fundamentais de uma imersão isométrica

Capítulo 7 – Variedades Completas; Os Teoremas de Hopf e Rinow e de Hadamard

1. Introdução
2. Variedades completas; Teorema de Hopf e Rinow
3. O Teorema de Hadamard

Capítulo 8 –

1. Introdução
2. Teorema de Cartan sobre a determinação da métrica
3. O espaço hiperbólico
4. As formas espaciais
5. Isometrias do espaço hiperbólico; o teorema de Liouville

Capítulo 9 – Variações da Energia

1. Introdução
2. As fórmulas das primeira e segunda energia
3. O teorema de Bonnet-Myers e o Teorema de Synge-Weistein

Capítulo 10 – O Teorema de Comparação de Rauch

1. Introdução
2. O Teorema de Rauch
3. Aplicação do Lema do Índice à teoria das imersões
4. Pontos focais e uma extensão do Teorema de Rauch

Capítulo 11 – O Teorema do Índice de Morse

1. Introdução
2. O Teorema do Índice

Capítulo 12 – O Grupo Fundamental das Variedades de Curvatura Negativa

1. Introdução
2. Existência de Geodésicas fechadas
3. Teorema de Preissman

Capítulo 13 – O Teorema da Espera

1. Introdução
2. O lugar dos pontos mínimos (cut locus)
3. A estimativa do raio de injetividade
4. O teorema da esfera
5. Alguns desenvolvimentos posteriores

Referências
Índice Alfabético

Autor

Manfredo do Carmo

Nasceu em Maceió, onde foi aluno do Professor Benedito de Moraes. Formou-se em Engenharia no Recife e chegou a tentar construir estradas em Alagoas. Foi professor de Matemática no ITA (S. José dos Campos) e na Universidade Federal de Pernambuco, de onde saiu para um estágio no IMPA, seguido de estudos na Universidade da Califórnia (Berkeley), onde obteve o grau de Doutor, sob a orientação de S.S. Chern.

Foi professor visitante em várias universidades brasileiras e estrangeiras. É Pesquisador Titular do IMPA. Foi Presidente da Sociedade Brasileira de Matemática. Seu campo de trabalho é a Geometria Diferencial, sobre a qual escreveu diversos artigos de pesquisa e alguns livros, inclusive o intitulado “Differential Geometry of Curves and Surfaces”, publicado pela Prentice-Hall (USA).

Manfredo é um aficcionado das histórias em quadrinhos, gosta de desenhar e há quem diga que escreve livros de Geometria apenas como pretexto para divulgar suas figuras e rabiscos.