DESCRIÇÃO
Manfredo do Carmo torna acessível a linguagem básica e alguns resultados fundamentais da Geometria Riemanniana. O livro, inspirado em suas notas de aula ministradas na Universidade de Berkeley (EUA), começa com o capítulo zero. Este foi especialmente organizado com conceitos e resultados de variedades diferenciáveis que são utilizados de maneira essencial nos demais capítulos.
Na primeira parte estão os conceitos elementares da Geometria Riemanniana, tais como métricas e conexões riemannianas, geodésicas e curvatura. A seguir estão os campos de Jacobi e a demonstração de uma generalização do Teorema Egregium de Gauss. Na segunda parte começa o estudo de questões globais. Ganham destaque as técnicas de cálculo de variações, os teoremas de Hadamard, de Myers e de Synger, os teoremas de comparação de Rauch e do índice de Morse, o teorema da esfera.
CONTEÚDO
0 Variedades Diferenciáveis
0.1 Introdução
0.2 Variedades diferenciáveis – espaço tangente
0.3 Imersões e mergulhos – exemplos
0.4 Outros exemplos de variedades. Orientação
0.5 Campos de vetores – colchetes. Topologia das variedades
1 Métricas Riemannianas
1.1 Introdução
1.2 Métricas Riemannianas
2 Conexões Afins – Conexão Riemanniana
2.1 Introdução
2.2 Conexões afins
2.3 Conexão Riemanniana
3 Geodésicas – Vizinhanças Convexas
3.1 Introdução
3.2 O fluxo geodésico
3.3 Propriedades minimizantes das geodésicas
3.4 Vizinhanças convexas
4 Curvaturas
4.1 Introdução
4.2 Curvatura
4.3 Curvatura seccional
4.4 Curvatura de Ricci e curvatura escalar
4.5 Tensores em variedades Riemannianas
5 Campos de Jacobi
5.1 Introdução
5.2 A equação de Jacobi
5.3 Pontos conjugados
6 Imersões Isométricas
6.1 Introdução
6.2 A segunda forma fundamental
6.3 As equações fundamentais de uma imersão isométrica
7 Os Teoremas de Hopf e Rinow e de Hadamard
7.1 Introdução
7.2 Variedades complexas: Teorema de Hopf e Rinow
7.3 O Teorema de Hadamard
8 Espaços de Curvatura Constante
8.1 Introdução
8.2 Teorema de Cartan sobre a determinação da métrica
8.3 O espaço hiperbólico
8.4 As formas espaciais
8.5 Isometrias do espaço hiperbólico
9 Variações da Energia
9.1 Introdução
9.2 Primeira e segunda variações da energia
9.3 Os teoremas de Bonnet-Myers e de Synge-Weinstein
10 O Teorema de Comparação de Rauch
10.1 Introdução
10.2 O Teorema de Rauch
10.3 Aplicação do Lema do Índice à teoria das imersões
10.4 Pontos focais e uma extensão do Teorema de Rauch
11 O Teorema do Índice de Morse
11.1 Introdução
11.2 O Teorema do Índice
12 Variedades de Curvatura Negativa
12.1 Introdução
12.2 Existência de geodésicas fechadas
12.3 O Teorema de Preissman
13 O Teorema da Esfera
13.1 Introdução
13.2 O lugar dos pontos mínimos – cut locus
13.3 A estimativa do raio de injetividade
13.4 O Teorema da Esfera
13.5 Alguns desenvolvimentos posteriores
Sugestões aos Exercícios
Bibliografia
Índice Remissivo
SOBRE O AUTOR
Manfredo Perdigão do Carmo
Nasceu em Maceió, onde foi aluno do Professor Benedito de Moraes. Formou-se em Engenharia no Recife e chegou a tentar construir estradas em Alagoas. Foi professor de Matemática no Instituto Tecnológico de Aeronáutia (ITA) em São José dos Campos e na Universidade Federal de Pernambuco, de onde saiu para um estágio no IMPA, seguido de estudos na Universidade da Califórnia, Berkeley, onde obteve o grau de Doutor, sob a orientação de S.S. Chern.
Foi professor visitante em várias universidades brasileiras e estrangeiras e pesquisador do IMPA. Foi Presidente da Sociedade Brasileira de Matemática. Seu campo de trabalho foi a Geometria Diferencial, sobre a qual escreveu diversos artigos de pesquisa e alguns livros, inclusive o intitulado Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies, publicado pela Prentice-Hall.
Manfredo foi um aficionado das histórias em quadrinhos, gostava de desenhar e há quem diga que escrevia livros de Geometria apenas como pretexto para divulgar suas figuras e rabiscos.
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