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Geometria Diferencial

Geometria Diferencial
Autor :
Páginas : 225
Publicação : IMPA, 2016
ISBN: 978-85-244-0421-4
3ª edição

O livro é uma introdução à Geometria Diferencial das curvas e superfícies no espaço euclideano, com ênfase no conteúdo geométrico dos resultados, para estudantes com conhecimentos básicos de Álgebra Linear e de Cálculo de Várias Variáveis.

Além de cobrir os fundamentos e os resultados clássicos do assunto (como a desigualdade isoperimétrica e o teorema de Gauss-Bonnet), contém outros, de inegável interesse geométrico, normalmente ignorados em livros introdutórios (curvas e superfícies de largura constante, classificação das superfícies completas de curvatura constante não-negativa, por exemplo), possibilitando assim uma variada escolha de tópicos adicionais para um primeiro curso de Geometria Diferencial.

Descrição

Este livro baseia-se nas notas de aula da disciplina de Geometria Diferencial lecionada na Faculdade de Ciências do Porto nos anos letivos de 1992-93 e 1993-94. Estudantes de diferentes cursos e com diversa formação matemática frequentaram a disciplina e, em conseqüência, seus pré-requisitos resumiram-se à Álgebra Linear, ao Cálculo (de uma e mais que uma variável), e ao estudo de curvas até ao triedro de Frenet. Além disso, evitamos a introdução de certo aparato técnico, como o Cálculo Tensorial, para insistir antes em resultados de conteúdo geométrico acessível e cuja demonstração, ainda que pudesse ser longa, usasse meios mais elementares.

Dito isto, entende-se que nos tenhamos restringido ao estudo de curvas e superfícies no espaço euclideano. Mas é nossa opinião que, mesmo para estudantes que seguirem uma carreira científica, esta é a abordagem certa para um primeiro estudo da Geometria Diferencial, fundamentando a intuição e emprestando motivação para os problemas que se põem em dimensões maiores.

Ainda que a idéia tenha sido a de reproduzir, na ordem e no conteúdo, as notas do curso, os apontamentos foram crescendo e incluindo assuntos que não foram expostos em aula. Corre-se o risco, ao lecionar Geometria Diferencial a um nível introdutório, de a colheita de resultados interessantes não compensar o trabalho despendido e digerir definições e a assimilar técnicas. As digressões deste texto podem levar o aluno a descobrir alguma da riqueza da Geometria Diferencial que, por imperativo do burocrático “realismo”, tantas vezes está ausente da aula.

Os exercícios incluídos no texto raramente são de rotina, embora poucos sejam realmente difíceis, e foram escolhidos no pressuposto de que um bom exercício, com nível de dificuldade médio, deve premiar o esforço do aluno ensinando-lhe alguma coisa.

Dentre os livros que consultamos merece destaque o de Manfredo do Carmo [C]: alguns dos exercícios e a estrutura de alguns assuntos vêm de lá. Mas vários exercícios são originais, e a seleção dos temas e a escrita das demonstrações refletem um gosto e um trabalho pessoais.

Damos agora algumas pistas sobre o uso do livro.as seções 1.1 – 1.3 do capítulo 1 abordam assuntos presumivelmente já conhecidos do estudante, e podem ser omitidas em turmas bem preparadas. Os capítulos 2-4 cobrem um curso básico de Geometria Diferencial, podendo omitir-se, caso o tempo seja escasso, as seções 3.3 – 4.4. Havendo tempo, pode fazer-se uma escolha de tópicos do cap. 1 (seções 1.4 a 1.8) e do capítulo 5; a interdependência entre as várias seções destes capítulos esta indicada no início de cada um deles.

 

Conteúdo

Curvas Diferenciáveis

1.1 Velocidade e comprimento de arco
1.2 Aceleração, curvatura e triedro de Frenet
1.3 Curvas planares
1.4 Contato de curvas
1.5 Curvas convexas
1.6 Curvas de largura constante
1.7 Teorema dos quatro vértices
1.8 A desigualdade isoperimétrica

Superfícies Regulares

2.1 Definição e exemplos
2.2 Mudança de parâmetros, superfícies de nível
2.3 Funções diferenciáveis em superfícies, espaço tangente
2.4 Orientabilidade
2.5 Áreas, comprimentos e ângulos: a primeira forma fundamental

A Geometria da Aplicação de Gauss

3.1 A aplicação de Gauss e sua derivada
3.2 A segunda forma fundamental
3.3 Campos de vetores

A Geometria Intrínsica das Superfícies

4.1 Aplicações conformes e isometrias
4.2 O teorema egrégio de Gauss
4.3 Derivada covariante, transporte paralelo, curvatura geodésica
4.4 O teorema da divergência. Primeira variação de área
4.5 O teorema de Gauss-Bonnet
4.6 Propriedades minimizantes das geodésicas
Apêndice: Índice de Rotação

A Geometria Global das Superfícies

Superfícies completas
Recobrimentos
Superfícies completas de curvatura não-positiva
Ovais (primeira parte): a rigidez da esfera
Ovais: áreas e volumes; superfícies de largura constante
Superfícies abstratas. O plano hiperbólico
Superfícies completas de curvatura constante

Bibliografia
Índice

Autor

Paulo Ventura Araújo

Paulo Ventura Araújo nasceu em 1966 no distrito do Porto, Portugal, onde sempre viveu, tirando um interregno de três anos para obter o Doutorado na Inglaterra. Em 1988 licenciou-se em Matemática na Faculdade de Ciências do Porto, e em janeiro de 1993, doutorou-se na Universidade de Warwick, com uma tese sobre teoria ergódica.

Desde então o seu interesse maior é a Geometria, tendo lecionado vários cursos e publicado diversos artigos de pesquisa nessa área. É atualmente professor na Faculdade de Ciências do Porto.