DESCRIÇÃO
O livro é uma introdução à Geometria Diferencial das curvas e superfícies no espaço euclidiano, com ênfase no conteúdo geométrico dos resultados, para estudantes com conhecimentos básicos de Álgebra Linear e de Cálculo de Várias Variáveis.
Além de cobrir os fundamentos e os resultados clássicos do assunto (como a desigualdade isoperimétrica e o teorema de Gauss-Bonnet), contém outros, de inegável interesse geométrico, normalmente ignorados em livros introdutórios (curvas e superfícies de largura constante, classificação das superfícies completas de curvatura constante não-negativa, por exemplo), possibilitando assim uma variada escolha de tópicos adicionais para um primeiro curso de Geometria Diferencial.
CONTEÚDO
1 Curvas Diferenciáveis
1.1 Velocidade e comprimento de arco
1.2 Aceleração, curvatura e triedro de Frenet
1.3 Curvas planares
1.4 Contato de curvas
1.5 Curvas convexas
1.6 Curvas de largura constante
1.7 Teorema dos quatro vértices
1.8 A desigualdade isoperimétrica
2 Superfícies Regulares
2.1 Definição e exemplos
2.2 Mudança de parâmetros, superfícies de nível
2.3 Funções diferenciáveis em superfícies, espaço tangente
2.4 Orientabilidade
2.5 Áreas, comprimentos e ângulos: a primeira forma fundamental
3 A Geometria da Aplicação de Gauss
3.1 A aplicação de Gauss e sua derivada
3.2 A segunda forma fundamental
3.3 Campos de vetores
4 A Geometria Intrínseca das Superfícies
4.1 Aplicações conformes e isometrias
4.2 O teorema egrégio de Gauss
4.3 Derivada covariante, transporte paralelo, curvatura geodésica
4.4 O teorema da divergência, Primeira variação de área
4.5 O teorema de Gauss-Bonnet
4.6 Propriedades minimalizantes das geodésicas
Apêndice: Índice de Rotação
5 A Geometria Global das Superfícies
5.1 Superfícies completas
5.2 Recobrimentos
5.3 Superfícies completas de curvatura não-positiva
5.4 Ovais (primeira parte): a rigidez da esfera
5.5 Ovais: áreas e volumes; superfícies de largura constante
5.6 Superfícies abstratas. O plano hiperbólico
5.7 Superfícies completas de curvatura constante
Bibliografia
Índice Remissivo
SOBRE O AUTOR
Paulo Ventura Araújo
Nasceu em 1966 no distrito do Porto, Portugal, onde sempre viveu, tirando um interregno de três anos para obter o Doutorado na Inglaterra. Em 1988 licenciou-se em Matemática na Faculdade de Ciências do Porto, e em janeiro de 1993, doutorou-se na Universidade de Warwick, com uma tese sobre teoria ergódica.
Desde então o seu interesse maior é a Geometria, tendo lecionado vários cursos e publicado diversos artigos de pesquisa nessa área. É atualmente professor na Faculdade de Ciências do Porto.
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