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Geometria Analítica e Álgebra Linear

Geometria Analítica e Álgebra Linear
Autor(es) : Elon Lages Lima
Páginas : 306
Publicação : IMPA, 2015
ISBN: 978-85-244-0185-5
2ª edição

Esta é uma introdução à Geometria Analítica, isto é, ao uso de coordenadas para estudar a Geometria Euclideana – plana e espacial. À medida em que se fazem necessários, os vetores são introduzidos, tirando-se proveito de sua grande simplicidade notacional e seu forte apelo geométrico.

Os sistemas lineares são mostrados como um exemplo de conexão da Álgebra com a Geometria, motivando a consideração de matrizes e da dependência linear entre suas linhas e colunas. Áreas e volumes levam ao estudo dos determinantes. Cônicas e quádricas conduzem às formas quadráticas, às matrizes simétricas e seus autovalores.

De um modo geral, o livro mostra como conceitos básicos de Álgebra Linear são úteis para tratar, eficiente e elegantemente, problemas de Geometria Analítica.

Descrição

Trata-se essencialmente de um livro de Geometria Analítica, plana e espacial. Isto significa, por um lado, o estudo da Geometria por meio da introdução de coordenadas e, por outro lado, o método de olhar para problemas de Álgebra (e de Análise) sob o ponto de vista da Geometria.

Os vetores ocorrem inicialmente como instrumento para desenvolver a Geometria Analítica: muito úteis no caso do plano e indispensáveis no espaço. Em seguida percebe-se que a noção de dependência (e independência) linear de vetores é a chave para analisar o comportamento dos sistemas de equações lineares e a linguagem adequada para exprimir seus resultados. Neste ponto, estamos fazendo um pouco de Álgebra Linear.

A fim de identificar as cônicas e as superfícies quádricas precisamos estudar as formas quadráticas a duas e três variáveis. Somos então levados naturalmente a considerar matrizes simétricas 2×2 ou 3×3 seus autovalores e autovetores. Isto é Álgebra Linear.

Matrizes e determinantes ocorrem ainda na fórmula de Gram para a área de um paralelogramo ou o volume de um paralelepípedo.

E, finalmente, transformações lineares são brevemente estudadas, no plano e no espaço tridimensional, dando-se vários exemplos e mostrando-se como um sistema de substituição lineares transforma uma circunferência numa elipse e um esfera num elipsóide.

Assim se mostra neste livro como o estudo da Geometria Analítica a duas e três dimensões conduz a noções básicas como dependência linear, matrizes, formas quadráticas, autovalores, transformações lineares, etc. Estes conceitos serão mais tarde sistemalizados na Álgebra Linear, a qual terá sua aprendizagem suavizada e tornada natural para os estudantes que já possuam  uma experiência prévia correspondente ao conteúdo do presente livro. Independente disso, é claro, a Geometria Analítica faz parte da cultura mínima necessária para estudos posteriores (ou simultâneos) de Cálculo, Análise, Equações Diferenciais, etc.

Os leitores aos quais este livro se destina são os alunos do primeiro ano da Universidade. Vários dos temas nele tratados constam, de uma forma mais superficial, do programa do Ensino Médio mas este fato não é levado em conta aqui, ou seja, não admitimos que o leitor possua conhecimento anterior sobre o assunto.

 

Conteúdo

1. Coordenadas na reta
2. Coordenadas no plano
3. Segmentos de reta no plano
4. A distância entre dois pontos
5. Escolhendo o sistema de coordenadas
6. Outros tipos de coordenadas
7. As equações da reta
8. Ângulo entre duas retas
9. Distância de um ponto a uma reta
10. Área de um triângulo
11. Desigualdades lineares
12. Equação da circunferência
13. Reconhecimento da equação da circunferência
14. Vetores no plano
15. Operações com vetores
16. Equação da elipse
17. Equação da hipérbole
18. Equação da parábola
19. Mudança de coordenadas
20. Formas quadráticas
21. A equação geral do segundo grau
22. O sinal de uma forma quadrática
23. Transformações lineares
24. Coordenadas no espaço
25. As equações paramétricas de uma reta
26. Distância entre dois pontos no espaço
27. Segmentos de reta no espaço
28. Vetores no espaço
29. Equação do plano
30. Ssitemas de equações lineares com duas incógnitas
31. Duas equações lineares com três incógnitas
32. Três equações lineares com três incógnitas
33. Escalonamento (eliminação gaussiana)
34. Operações com matrizes
35. Determinantes
36. A regra de Cramer
37. O determinante do produto de duas matrizes
38. Áreas, volumes e a matriz de Gram
39. Caracterização das matrizes invertíveis
40. O produto vetorial
41. Mudança de coordenadas no espaço
42. Formas quadráticas em R3
43. As quádricas centrais
44. Completando quadrados em R3
45. A equação geral do segundo grau em R3
46. Matrizes e formas quadráticas
47. Transformações lineares em R3
Bibliografia

Autor

Elon Lages Lima

Elon Lages Lima foi Pesquisador Emérito do Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) e membro titular da Academia Brasileira de Ciências e da TWAS (Academy of Sciences for the Developing World). Foi também Doutor Honoris Causa pelas Universidades Federais do Amazonas e de Alagoas e pela Universidad Nacional de Ingenieria del Perú, Professor Honoris Causa das Universidades Federais do Ceará e da Bahia, da Universidade Estadual de Campinas, da Pontificia Universidad Católica del Perú e da Universidade de Brasília. Recebeu a Ordem do Mérito Científico na Classe Grã-Cruz, da Presidência da República e o Prêmio Anísio Teixeira, do MEC

É autor de vários livros de Topologia, Análise, Álgebra e Matemática Elementar, dois dos quais são ganhadores do Prêmio Jabuti.