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Funções de Uma Variável Complexa

Funções de Uma Variável Complexa
Autor(es) : Alcides Lins Neto
Páginas : 468
Publicação : IMPA, 2016
ISBN: 978-85-244-0423-8
3ª edição

CONTEÚDO 

1 O Corpo dos Números Complexos
   1 Números Complexos
      1.1 O conjunto dos números complexos como um corpo
      1.2 Representação cartesiana e representação polar
      1.3 Distância e desigualdades fundamentais
      1.4 Limites de sequências
      1.5 Limites infinitos
      1.6 Noções fundamentais da topologia de C
      1.7 Limites de funções

2 Séries de números complexos
      2.1 Critério de Cauchy
      2.2 Reordenação de Séries
      2.3 Famílias somáveis e séries duplas

3 Espaços de Funções Contínuas
      3.1 Convergência uniforme
      3.2 Convergência uniforme em compactos

2 Funções Analíticas
   1 Funções holomorfas
      1.1 Derivada real
      1.2 Derivada complexa, funções holomorfas
      1.3 Aplicações conformes
      1.4 O teorema da função inversa

2 Séries de Potências
      2.1 Funções definidas por séries de potências
      2.2 Operações com séries de potências

3 Exponencial e Logaritmo
      3.1 A função exponencial
      3.2 O logaritmo complexo
      3.3 Raízes e potências generalizadas
      3.4 Funções trigonométricas complexas

4 Funções analíticas de uma variável complexa
      4.1 Definição e exemplos
      4.2 Zeros de uma função analítica
      4.3 O anel das funções analíticas

3 Integração no plano complexo
   1 Formas diferenciais
      1.1 Definição e exemplos
      1.2 Integração de formas diferenciais em caminhos
      1.3 Integração de 1-formas exatas e fechadas
      1.4 Integração de formas fechadas ao longo de caminhos contínuos

2  Homotopia e Integração
       2.1 Homotopia
       2.2 Integração de formas fechadas ao longo de caminhos homotópicos
       2.3 Índice de um caminho fechado

3 Os teoremas de Jordan e de Green
       3.1 Regiões limitadas por curvas de Jordan
       3.2 O Teorema de Green

4 Teoria de Cauchy
   1 O Teorema de Cauchy-Goursat
   2 Fórmula integral de Cauchy e aplicações
       2.1 Fórmula integral de Cauchy
       2.2 Analiticidade das funções  holomorfas
       2.3 O Teorema do módulo máximo
       2.4 O princípio da reflexão de Schwarz

3 Séries de Laurent
       3.1 Funções analíticas num anel
       3.2 Singularidades isoladas de funções analíticas

4 Teoria dos Resíduos
      4.1 Definição e exemplos
      4.2 O teorema dos resíduos
      4.3 Polos e zeros de funções meromorfas
      4.4 Cálculo de integrais definidas

5 A esfera de Riemann
      5.1 Construções da esfera de Riemann
      5.2 Funções holomorfas da esfera de Riemann
      5.3 Formas diferenciais e o teorema dos resíduos em C
      5.4 Funções racionais

5 Sequências, Séries e Produtos de Funções Holomorfas e Meromorfas
   1 Os espaços de funções holomorfas e meromorfas
     1.1 A topologia da convergência uniforme nas partes compactas
     1.2 Sequências de funções meromorfas
     1.3 Séries de funções meromorfas

2 Famílias normais de funções holomorfas e meromorfas
     2.1 O Teorema de Aezelá-Ascoli
     2.2 Famílias normais de funções holomorfas
     2.3 Famílias normais de funções meromorfas

3 Funções duplamente periódicas
     3.1 Períodos de uma função meromorfa
     3.2 Funções duplamente periódicas
     3.3 A função P de Weierstrass

4 Produtos infinitos e o teorema de Weierstrass
     4.1 Produtos infinitos numéricos
     4.2 Produtos infinitos de funções holomorfas
     4.3 O Teorema de Fatoração de Weierstrass

5 As funções Gama e Zeta
     5.1 A função Gama
     5.2 A função Zeta de Riemann

6 Aproximação de funções analíticas por funções racionais
     6.1 O Teorema de Runge
     6.2 O Teorema de Mittag-Leffler

6 O Teorema de Uniformização de Riemann
 1 Equivalências conformes
     1.1 Notações e propriedades elementares
     1.2 Exemplos

2 Automorfimos de C e do disco unitário
     2.1 Algumas propriedades das homografias
     2.2 A razão cruzada
     2.3 Automorfismos holomorfos do disco unitário
     2.4 Automorfismos anti-holomorfos de C

3 O teorema de Riemann
    3.1 Demonstração do Teorema de Riemann
    3.2 Classificação dos subconjuntos abertos simplesmente conexos de C
    3.3 Uma caracterização dos abertos simplesmente conexos de C
    3.4 Prova do Lema 1

Referências
Índice Alfabético

 

SOBRE O AUTOR 

Alcides Lins Neto

Nascido em Belo Horizonte, MG, foi criado no Rio, onde diplomou-se em Engenharia Eletrônica no Instituto Militar de Engenharia. Ainda cursando Engenharia, iniciou seus estudos em Matemática no IMPA, tendo aí concluído o mestrado e o doutorado. É atualmente Pesquisador Titular do IMPA, onde é especialista em Sistemas Dinâmicos e Folheações Holomorfas, temas sobre os quais tem vários trabalhos publicados, tendo, além disso, proferido conferências em diversos congressos e universidades, nacionais e estrangeiras. É membro titular da Academia Brasileira de Ciências.

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