DESCRIÇÃO
O livro foi escrito para servir de texto a um curso de Espaços Métricos, como uma introdução à Topologia. A obra foi contemplada com o mais importante prêmio literário brasileiro, o Jabuti, em 1978, na categoria Ciências Exatas. Os estudantes com noções de análise compreenderão melhor as aplicações da teoria dos espaços métricos. Elon Lages Lima apresenta a linguagem básica da topologia, conjuntos conexos, limite, e espaços métricos complexos e compactos.
São descritas as aplicações como a do teorema fundamental da álgebra, a existência de funções contínuas sem derivada em nenhum ponto, a curva de Peano, o teorema de Picard sobre existência e unicidade de solução para equações diferenciais ordinárias, o teorema de Montel relacionado a famílias normais de funções analíticas, o teorema de Stone-Weierstrass e o cubo de Hilbert como espaço separável universal. Esses exemplos buscam mostrar a força e multifuncionalidade das teorias.
CONTEÚDO
1 Espaços Métricos
1 Definição e exemplos de espaços métricos
2 Bolas e esferas
3 Conjuntos limitados
4 Distância de um ponto a um conjunto
5 Isometrias
6 Pseudo métricas
7 Exercícios
2 Funções Contínuas
1 Definição e exemplos
2 Propriedades elementares das aplicações continuas
3 Homeomorfismos
4 Métricas equivalentes
5 Transformações lineares e multilineares
6 Exercícios
3 Linguagem Básica da Topologia
1 Conjuntos abertos
2 Relações entre conjuntos abertos e continuidade
3 Espaços topológicos
4 Conjuntos fechados
5 Exercícios
4 Conjuntos Conexos
1 Definição e exemplos
2 Propriedades gerais dos conjuntos conexos
3 Conexidade por caminhos
4 Componentes conexas
5 A conexidade como invariante topológico
6 Exercícios
5 Limites
1 Limites de sequências
2 Sequências de números reais
3 Séries
4 Convergência e topologia
5 Sequências de funções
6 Produtos cartesianos infinitos
7 Limites de funções
8 Exercícios
6 Continuidade Uniforme
1 Observações e exemplos
2 Exercícios
7 Espaços Métricos Completos
1 Sequências de Cauchy
2 Espaços métricos completos
3 Espaços de Banach e espaços de Hilbert
4 Extensão de aplicações contínuas
5 Completamento de um espaço métrico
6 Espaços métricos topologicamente completos
7 O teorema de Baire
8 O método das aproximações sucessivas
9 Exercícios
8 Espaços Métricos Compactos
1 Compacidade na reta
2 Espaços métricos compactos
3 Produtos de dois fatores, um dos quais é compacto
4 Uma base para C (K; M)
5 Caracterízações de espaços compactos
6 Produtos cartesianos de espaços compactos
7 Continuidade uniforme
8 Espaços localmente compactos
9 Espaços vetoriais normados de dimensão finita
10 Equicontinuidade
11 Os teoremas de aproximação de Weierstrass e Stone
12 Exercícios
9 Espaços Separáveis
1 Propriedades gerais
2 Espaços localmente compactos separáveis
3 O cubo de Hilbert como espaço separável universal
4 O Teorema de Hahn-Mazurkiewicz
5 Paracompacidade
6 Exercícios
Bibliografia
Índice de Notações
Índice Remissivo
SOBRE O AUTOR
Elon Lages Lima
Nasceu em Maceió, iniciou seus estudos universitários em Fortaleza, bacharelou-se em Matemática na Universidade Federal do Rio de Janeiro e fez pós-graduação na Universidade de Chicago, onde obteve os graus de Mestre e Doutor (Ph. D.). Foi Pesquisador Emérito do Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) ao qual esteve ligado desde os tempos de graduação, como bolsista de Iniciação Científica. Sua área de maior interesse foi a Topologia, tendo começado por Topologia Algébrica e dedicando-se posteriormente a Topologia Diferencial. É autor de vários livros de Topologia, Análise, Álgebra e Matemática Elementar, dois dos quais, entre eles esse, são ganhadores do Prêmio Jabuti.
Foi membro titular da Academia Brasileira de Ciências e da TWAS (Academy of Sciences for the Depeloping World), Doutor Honoris Causa pelas Universidades Federais do Amazonas e de Alagoas e pela Universidad Nacional de Ingeniería del Perú, Professor Honoris Causa das Universidades Federais do Ceará e da Bahia, da Universidade Estadual de Campinas, da Pontifícia Universidad Católica del Perú e da Universidade de Brasília.
Foi um torcedor moderadamente fanático do Fluminense e, fora do futebol, sua maior distração era escrever livros expositórios de Matemática.
